试题

题目：
青果学院（2009·聊城）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF=45度．连接BO并延长交AC于点G，AB=4，AG=2．
（1）求∠A的度数；
（2）求⊙O的半径．
答案
青果学院解：（1）连接OD，OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，又∠DOF=2∠DEF=2×45°=90°，
∴∠ODA=∠OFA=∠DOF=90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∴∠A=90°；

（2）设⊙O的半径为r，
由（1）知四边形ADOF是矩形，又OD=OF，
∴四边形ADOF是正方形．
∴OD∥AC．
∴△BOD∽△BGA．
∴
DO
AG
=
BD
BA
．
即
r
2
=
4-r
4
，
解得r=
4
3
．
∴⊙O的半径为
4
3
．
青果学院解：（1）连接OD，OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，又∠DOF=2∠DEF=2×45°=90°，
∴∠ODA=∠OFA=∠DOF=90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∴∠A=90°；

（2）设⊙O的半径为r，
由（1）知四边形ADOF是矩形，又OD=OF，
∴四边形ADOF是正方形．
∴OD∥AC．
∴△BOD∽△BGA．
∴
DO
AG
=
BD
BA
．
即
r
2
=
4-r
4
，
解得r=
4
3
．
∴⊙O的半径为
4
3
．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；正方形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．
（1）由于已知了∠DEF的度数，那么可连接OD，OF，那么∠DOF=2∠DEF=90°，根据AD，AF是圆的切线，那么OD⊥AB，OF⊥AC，由此可得出∠A的度数．
（2）根据（1）的结论我们不难得出ADOF是个正方形，那么OD=AD=AF=OF就都等于圆的半径长，那么可用半径表示出BD的长，根据OD∥AC，我们可以得出关于BD，AB，OD，AG的比例关系式．已知了AG，AB的长就能求出半径的长了．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形等知识点综合应用．根据圆周角定理和切线的性质得出ADOF是正方形是解题的关键．
几何综合题；压轴题．
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