试题

（2009·黔南州）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．
（1）DE与半圆0是否相切？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x²-16x+60=0的两个根，求直角边BC的长．

解：（1）DE与半圆O相切，理由如下：
连接OD、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=∠BDC=90°，
∵在Rt△BDC中，E为BC边上的中点，
∴DE=BE，
∴∠EBD=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，
∵OD是半径，
∴DE与半圆O相切；

（2）∵AD、AB的长是方程x²-16x+60=0的两个根，
∴解方程得：x₁=6，x₂=10，
∵AD＜AB，
∴AD=6，AB=10，
∵在Rt△ABC中，BD⊥AC，
∴Rt△ADB∽Rt△ABC，
∴

AB

AD

=

AC

AB

，
即AB²=AD·AC，
∴AC=

AB2

AD

=

50

3

，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=

50

3

，
∴BC=

AC2-AB2

=

40

3

．
解：（1）DE与半圆O相切，理由如下：
连接OD、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=∠BDC=90°，
∵在Rt△BDC中，E为BC边上的中点，
∴DE=BE，
∴∠EBD=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，
∵OD是半径，
∴DE与半圆O相切；

（2）∵AD、AB的长是方程x²-16x+60=0的两个根，
∴解方程得：x₁=6，x₂=10，
∵AD＜AB，
∴AD=6，AB=10，
∵在Rt△ABC中，BD⊥AC，
∴Rt△ADB∽Rt△ABC，
∴

AB

AD

=

AC

AB

，
即AB²=AD·AC，
∴AC=

AB2

AD

=

50

3

，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=

50

3

，
∴BC=

AC2-AB2

=

40

3

．