试题

题目：
青果学院（2009·清远）如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连接AC．
（1）求证：△ABC∽△POA；
（2）若OB=2，OP=
7
2
，求BC的长．
答案
青果学院（1）证明：∵BC∥OP
∴∠AOP=∠B
∵AB是直径
∴∠C=90°
∵PA是⊙O的切线，切点为A
∴∠OAP=90°
∴∠C=∠OAP
∴△ABC∽△POA；

（2）解：∵△ABC∽△POA
∴
BC
OA
=
AB
PO

∵OB=2，PO=
7
2

∴OA=2，AB=4
∴
BC
2
=
4
7
2

∴
7
2
BC=8
∴BC=
16
7
．
青果学院（1）证明：∵BC∥OP
∴∠AOP=∠B
∵AB是直径
∴∠C=90°
∵PA是⊙O的切线，切点为A
∴∠OAP=90°
∴∠C=∠OAP
∴△ABC∽△POA；

（2）解：∵△ABC∽△POA
∴
BC
OA
=
AB
PO

∵OB=2，PO=
7
2

∴OA=2，AB=4
∴
BC
2
=
4
7
2

∴
7
2
BC=8
∴BC=
16
7
．
考点梳理
切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）由BC∥OP可得∠AOP=∠B，根据直径所对的圆周角为直角可知∠C=90°，再根据切线的性质知∠OAP=90°，从而可证△ABC∽△POA；
（2）根据△ABC∽△POA，和已知边的长可将BC的长求出．
本题主要考查相似三角形的性质与判定、切线的性质等知识，综合性比较强．
几何综合题；压轴题．
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