试题

（2009·泉州）在直角坐标系中，点A（5，0）关于原点O的对称点为点C．
（1）请直接写出点C的坐标；
（2）若点B在第一象限内，∠OAB=∠OBA，并且点B关于原点O的对称点为点D．
①试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
②现有一动点P从B点出发，沿路线BA-AD以每秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．已知AB=6，设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，当动点Q在以PA为直径的圆上时，试求t的值？

解：（1）根据题意，得C（-5，0）；

（2）①四边形ABCD为矩形，理由如下：
如图，由已知可得：A、O、C在同一直线上，且OA=OC；
B、O、D在同一直线上，且OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，即AC=2OA=2OB=BD．
∴四边形ABCD是矩形．

②如图，由①得四边形ABCD是矩形．
∴∠CBA=∠ADC=90°．
又AB=CD=6，AC=10，
∴由勾股定理，得
BC=AD=

AC2-AB2

=

102-62

=8．
∵

10

0.4

=25，

6+8

1

=14，∴0≤t≤14．
当0≤t≤6时，P点在AB上，连接PQ．
∵AP是直径，∴∠PQA=90°．
又∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB
∴

PA

CA

=

AQ

AB

，即

6-t

10

=

0.4t

6

，解得t=3.6．
当6＜t≤14时，P点在AD上，连接PQ，
同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD
∴

PA

CA

=

AQ

AD

，即

t-6

10

=

0.4t

8

，解得t=12．
综上所述，当动点Q在以PA为直径的圆上时，t的值为3.6或12．
解：（1）根据题意，得C（-5，0）；

（2）①四边形ABCD为矩形，理由如下：
如图，由已知可得：A、O、C在同一直线上，且OA=OC；
B、O、D在同一直线上，且OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，即AC=2OA=2OB=BD．
∴四边形ABCD是矩形．

②如图，由①得四边形ABCD是矩形．
∴∠CBA=∠ADC=90°．
又AB=CD=6，AC=10，
∴由勾股定理，得
BC=AD=

AC2-AB2

=

102-62

=8．
∵

10

0.4

=25，

6+8

1

=14，∴0≤t≤14．
当0≤t≤6时，P点在AB上，连接PQ．
∵AP是直径，∴∠PQA=90°．
又∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB
∴

PA

CA

=

AQ

AB

，即

6-t

10

=

0.4t

6

，解得t=3.6．
当6＜t≤14时，P点在AD上，连接PQ，
同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD
∴

PA

CA

=

AQ

AD

，即

t-6

10

=

0.4t

8

，解得t=12．
综上所述，当动点Q在以PA为直径的圆上时，t的值为3.6或12．