试题

（2011·中山区一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交AC的延长线于点E．求证：
（1）DE⊥AC；
（2）若AE=4，ED=2，求⊙O的半径．

（1）证明：连接OD（1分），
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠ODA=∠CAD（3分），
∴OD∥AE，
又∵DE是⊙O的切线（4分），
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；

（2）解：连接BD
在Rt△AED中，由勾股定理得：（5分）
AD=

AE2+DE2

=

42+22

=2

5

，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∵∠CAD=∠DAO，（7分）
∴△AED∽△ADB，（8分）
∴

AE

AD

=

AD

AB

，（9分）
∴AB=

AD2

AE

=

20

4

=5，
∴⊙O的半径为2.5．
（1）证明：连接OD（1分），
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠ODA=∠CAD（3分），
∴OD∥AE，
又∵DE是⊙O的切线（4分），
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；

（2）解：连接BD
在Rt△AED中，由勾股定理得：（5分）
AD=

AE2+DE2

=

42+22

=2

5

，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∵∠CAD=∠DAO，（7分）
∴△AED∽△ADB，（8分）
∴

AE

AD

=

AD

AB

，（9分）
∴AB=

AD2

AE

=

20

4

=5，
∴⊙O的半径为2.5．