试题

（2012·崇明县三模）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（2）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．

解：（1）作QF⊥AC于点F，如图1，AQ=CP=t，
∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABC，BC=

52-32

=4，
得

QF

4

=

t

5

．
∴QF=

4

5

t．
∴在点P从C向A运动的过程中，△APQ的面积S=

1

2

（3-t）·

4

5

t；
（2）能．
①当由△APQ∽△ABC，DE∥QB时，如图2．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，
即

t

3

=

3-t

5

．解得 t=

9

8

；
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

5

=

3-t

3

．
解得 t=

15

8

．
解：（1）作QF⊥AC于点F，如图1，AQ=CP=t，
∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABC，BC=

52-32

=4，
得

QF

4

=

t

5

．
∴QF=

4

5

t．
∴在点P从C向A运动的过程中，△APQ的面积S=

1

2

（3-t）·

4

5

t；
（2）能．
①当由△APQ∽△ABC，DE∥QB时，如图2．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，
即

t

3

=

3-t

5

．解得 t=

9

8

；
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

5

=

3-t

3

．
解得 t=

15

8

．