试题

（2012·道外区二模）一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=6米．用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中点D、E、F分别在AC、AB、BC上、设边AE的长为x米，矩形CDEF的面积为S平方米．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）根据（1）中的函数关系式，计算当x为何值时S最大，并求出最大值．
参考公式：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当x=-

b

2a

时，y_{最大（小）值}=

4ac-b2

4a

．

解：（1）∵四边形DEFC是矩形，
∴∠ADE=90°，
∵∠A=30°，
∴DE=

1

2

AE，
∵AE=x，
∴DE=

1

2

x，
∴AD=

3

2

x，
同理在直角三角形ACB中，AC=

AB2-CB2

=3

3

米，
∴DC=AC-AD=3

3

-

3

2

x，
∴S_矩形DECF=DE·CD=

1

2

x（3

3

-

3

2

x）=-

3

4

x²+

3 3

2

x，
（2）∵S_矩形DECF=-

3

4

x²+

3 3

2

x，
∴a=-

3

4

＜0，
∴S有最大值，
∴x=-

b

2a

=3时，S_最大=

4ac-b2

4a

=

9 3

4

，
∴当AB的长是3米时，矩形CDEF的面积最大，最大面积是

9 3

4

平方米．
解：（1）∵四边形DEFC是矩形，
∴∠ADE=90°，
∵∠A=30°，
∴DE=

1

2

AE，
∵AE=x，
∴DE=

1

2

x，
∴AD=

3

2

x，
同理在直角三角形ACB中，AC=

AB2-CB2

=3

3

米，
∴DC=AC-AD=3

3

-

3

2

x，
∴S_矩形DECF=DE·CD=

1

2

x（3

3

-

3

2

x）=-

3

4

x²+

3 3

2

x，
（2）∵S_矩形DECF=-

3

4

x²+

3 3

2

x，
∴a=-

3

4

＜0，
∴S有最大值，
∴x=-

b

2a

=3时，S_最大=

4ac-b2

4a

=

9 3

4

，
∴当AB的长是3米时，矩形CDEF的面积最大，最大面积是

9 3

4

平方米．