试题

题目：
青果学院（2012·定结县模拟）如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．
（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．
答案
青果学院（1）结论：PC是⊙O的切线．（1分）
证明：连接OC
∵CB∥PO
∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB
∵OC=OB
∴∠OCB=∠B
∴∠POA=∠POC（2分）
又∵OA=OC，OP=OP
∴△APO≌△CPO
∴∠OAP=∠OCP（3分）
∵PA是⊙O的切线
∴∠OAP=90°（4分）
∴∠OCP=90°
∴PC是⊙O的切线．（5分）

（2）连接AC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°（6分）
由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC
∴∠ACB=∠PCO（7分）
∴△ACB∽△PCO（8分）
∴
BC
OC
=
AC
PC
（9分）
∴PC=
OC·AC
BC
=
3
AB2-BC2
4
=
3
62-42
4
=
3
5
2
（10分）
青果学院（1）结论：PC是⊙O的切线．（1分）
证明：连接OC
∵CB∥PO
∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB
∵OC=OB
∴∠OCB=∠B
∴∠POA=∠POC（2分）
又∵OA=OC，OP=OP
∴△APO≌△CPO
∴∠OAP=∠OCP（3分）
∵PA是⊙O的切线
∴∠OAP=90°（4分）
∴∠OCP=90°
∴PC是⊙O的切线．（5分）

（2）连接AC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°（6分）
由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC
∴∠ACB=∠PCO（7分）
∴△ACB∽△PCO（8分）
∴
BC
OC
=
AC
PC
（9分）
∴PC=
OC·AC
BC
=
3
AB2-BC2
4
=
3
62-42
4
=
3
5
2
（10分）
考点梳理
切线的判定；相似三角形的判定与性质．
（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．
（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．
本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．
几何综合题；压轴题．
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