试题

（2012·鼓楼区一模）如图，菱形ABCD的边长为30cm，∠A=120°．点P沿折线A-B-C-D运动，速度为1cm/s；点Q沿折线A-D-C-B运动，速度为1.5cm/s．当一点到达终点时，另一点也随即停止运动．若点P、Q同时从点A出发，运动时间为t s．
（1）设△APQ面积为s cm²，求s与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当△APQ为等腰三角形时，直接写出t的值．

解：（1）作AH⊥CD于点H，
∵菱形ABCD的边长为30cm，∠A=120°，
∴∠D=60°，
∴∠HAD=30°，HD=

1

2

AD=15cm，
∴AH=15

3

cm，
即菱形ABCD的高为15

3

cm，
分五种情况：
①如图1，延长BA过点Q做QN⊥BA于点N，
∵点P沿折线A-B-C-D运动，速度为1cm/s；点Q沿折线A-D-C-B运动，速度为1.5cm/s．
∴当0≤t≤20时，AQ=1.5t，∠NAQ=60°，
∴QN=

3 3

4

t，
∴s=

1

2

PA·QN=

1

2

t·

3 3

4

t=

3 3

8

t ²．

②如图2，当20＜t≤30时，
s=

1

2

t·15

3

=

15 3

2

t． 

③如图3，当30＜t≤40时，
s=-

3

8

3

t ²+

75 3

4

t．

④如图4，当40＜t≤48时，
s=-

75

4

3

t+900

3

． 

⑤如图5，当48＜t≤60时，
s=

75

4

3

t-900

3

．

（2）当P点在AB上，Q点在CD上，AP=AQ时，t=54-6

21

；
当P点在BC上，Q点在CD上，AP=AQ时，t=36；
当P点在BC上，Q点在BC上，AP=AQ时，t=60．
解：（1）作AH⊥CD于点H，
∵菱形ABCD的边长为30cm，∠A=120°，
∴∠D=60°，
∴∠HAD=30°，HD=

1

2

AD=15cm，
∴AH=15

3

cm，
即菱形ABCD的高为15

3

cm，
分五种情况：
①如图1，延长BA过点Q做QN⊥BA于点N，
∵点P沿折线A-B-C-D运动，速度为1cm/s；点Q沿折线A-D-C-B运动，速度为1.5cm/s．
∴当0≤t≤20时，AQ=1.5t，∠NAQ=60°，
∴QN=

3 3

4

t，
∴s=

1

2

PA·QN=

1

2

t·

3 3

4

t=

3 3

8

t ²．

②如图2，当20＜t≤30时，
s=

1

2

t·15

3

=

15 3

2

t． 

③如图3，当30＜t≤40时，
s=-

3

8

3

t ²+

75 3

4

t．

④如图4，当40＜t≤48时，
s=-

75

4

3

t+900

3

． 

⑤如图5，当48＜t≤60时，
s=

75

4

3

t-900

3

．

（2）当P点在AB上，Q点在CD上，AP=AQ时，t=54-6

21

；
当P点在BC上，Q点在CD上，AP=AQ时，t=36；
当P点在BC上，Q点在BC上，AP=AQ时，t=60．