试题

题目：
青果学院（2012·集美区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC
（1）若添加条件：AB=AD，BD平分∠ABC，判断结论“四边形ABCD是菱形”是否正确？若正确请加以证明；若不正确，请举出一个反例说明；
（2）若BC=3AD，M是AB的中点，MC交对角线BD于O，已知：OM=2，求OC的长．
答案
青果学院解：（1）不正确．
如图，等腰梯形ABCD中，AD=AB=CD，AD∥BC，AD平分∠ABC，BD⊥CD．

（2）过点D作DF∥AB，分别交CM，BC于点E，F，
∵AD∥BC，
青果学院∴四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF，BF=AD，
∵BC=3AD，
∴BC=3BF，
∵AB∥DF，
∴△CEF∽△CBM，△OBM∽△ODE，
∴
EF
BM
=
CF
CB
=
CE
CM
=
2
3
，
BM
DE
=
OM
OE
，
∵AM=BM，
∴EF：AB=1：3，
∴BM：DE=3：4，
∴OE=
4
3
OM=
8
3
，
∴EM=
14
3
，
∴CM=3EM=14，
∴OC=CM-OM=12．
青果学院解：（1）不正确．
如图，等腰梯形ABCD中，AD=AB=CD，AD∥BC，AD平分∠ABC，BD⊥CD．

（2）过点D作DF∥AB，分别交CM，BC于点E，F，
∵AD∥BC，
青果学院∴四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF，BF=AD，
∵BC=3AD，
∴BC=3BF，
∵AB∥DF，
∴△CEF∽△CBM，△OBM∽△ODE，
∴
EF
BM
=
CF
CB
=
CE
CM
=
2
3
，
BM
DE
=
OM
OE
，
∵AM=BM，
∴EF：AB=1：3，
∴BM：DE=3：4，
∴OE=
4
3
OM=
8
3
，
∴EM=
14
3
，
∴CM=3EM=14，
∴OC=CM-OM=12．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；菱形的判定．
（1）不正确，等腰梯形ABCD中，AD=AB=CD，AD∥BC，AD平分∠ABC，BD⊥CD，就符合题意；
（2）首先过点D作DF∥AB，分别交CM，BC于点E，F，易得△CEF∽△CBM，△DBM∽△ODE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的性质以及菱形的判定．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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