试题

（2012·江宁区一模）如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，AB=15cm，BC=9cm，
（1）点E是AB的中点吗？为什么？
（2）若P是射线DE上的动点．设DP=x cm（x＞0），四边形BCDP的面积为y cm²．
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时四边形BCDP的面积．

解：（1）点E是AB的中点，
理由是：∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF，
∵DF⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
∵AF=CF，
∴AE=BE，
即点E是AB的中点．

（2）①在Rt△ACB中，AB=15，BC=9，由勾股定理得：AC=

AB2-BC2

=12（cm），
即AF=CF=6cm，
∵DF∥BC，
∴梯形BCDP的面积y=

1

2

（x+9）×6=3x+27，
即y=3x+27（x＞0）．

②△PBC的周长是BC+CP+PB=9cm+CP+BP，
要使△PBC的周长最小，只要CP+BP最小即可，
∵CF=AF，DE⊥AC，
∴C、A关于DF对称，
即当点P运动到点E时，CP+BP最小，此时△PBC的周长最小，
求得AE=BE=

1

2

AB=

15

2

cm，
∵DE∥BC，
∴∠DEA=∠CBA，
∵∠DAE=∠ACB=90°，
∴△DAE∽△ACB，
∴

AE

BC

=

DE

AB

，
∴

15 2

9

=

DE

15

，
解得：DE=

25

2

（cm），
∴当x=

25

2

时，△PBC的周长最小，
∵CF是梯形BCDE的两底之间的高，
∴此时四边形BCDP（即梯形BCDE）的面积是：

1

2

×（

25

2

+9）×6=

129

2

（cm²）．
答：当x=

25

2

时，△PBC的周长最小，此时四边形BCDP的面积是

129

2

cm²．
解：（1）点E是AB的中点，
理由是：∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF，
∵DF⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
∵AF=CF，
∴AE=BE，
即点E是AB的中点．

（2）①在Rt△ACB中，AB=15，BC=9，由勾股定理得：AC=

AB2-BC2

=12（cm），
即AF=CF=6cm，
∵DF∥BC，
∴梯形BCDP的面积y=

1

2

（x+9）×6=3x+27，
即y=3x+27（x＞0）．

②△PBC的周长是BC+CP+PB=9cm+CP+BP，
要使△PBC的周长最小，只要CP+BP最小即可，
∵CF=AF，DE⊥AC，
∴C、A关于DF对称，
即当点P运动到点E时，CP+BP最小，此时△PBC的周长最小，
求得AE=BE=

1

2

AB=

15

2

cm，
∵DE∥BC，
∴∠DEA=∠CBA，
∵∠DAE=∠ACB=90°，
∴△DAE∽△ACB，
∴

AE

BC

=

DE

AB

，
∴

15 2

9

=

DE

15

，
解得：DE=

25

2

（cm），
∴当x=

25

2

时，△PBC的周长最小，
∵CF是梯形BCDE的两底之间的高，
∴此时四边形BCDP（即梯形BCDE）的面积是：

1

2

×（

25

2

+9）×6=

129

2

（cm²）．
答：当x=

25

2

时，△PBC的周长最小，此时四边形BCDP的面积是

129

2

cm²．