试题

（2012·兰州一模）如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动，点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止．

（1）点A坐标为，P、Q两点相遇时交点的坐标为；
（2）当t=2时，S_△OPQ=；当t=3时，S_△OPQ=；
（3）设△OPQ的面积为S，试求S关于t的函数关系式；
（4）当△OPQ的面积最大时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是Rt△？若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．

解：（1）过A作AC⊥x轴于C，在Rt△OAC中，OA=6，∠AOC=60°，则OC=3，AC=3

3

，
由此可得A（3，3

3

）；
当P、Q相遇时，3t+2t=18，即t=

18

5

；
此时P、Q都在线段AB上，且QB=2×

18

5

-6=

6

5

，同上可求得此交点坐标为（

27

5

，

3

5

3

）；
故：A点坐标为(3，3

3

)、交点坐标为(

27

5

，

3

5

3

)．

（2）当t=2时，P、A重合，S_△OPQ=

1

2

×4×3

3

=6

3

；
当t=3时，Q、B重合，此时PB=12-3×3=3，△OPQ的高为：PB·sin60°=

3 3

2

，
∴S_△OPQ=

1

2

×6×

3 3

2

=

9

2

3

；
故当t=2时，S_△OPQ=6

3

；当t=3时，S_△OPQ=

9

2

3

．

（3）①当0≤t≤2时，P在线段OA上，Q在线段OB上；
S=

1

2

OQ·OPsin60°=

1

2

×3t×2t×

3

2

=

3 3

2

t2；
②当2＜t≤3时，P在线段AB上，Q在线段OB上；
设OQ边上的高为h，

h

3 3

=

12-3t

6

，解得h=6

3

-

3 3

2

t，
S=

1

2

OQ·h=

1

2

×2t×（6

3

-

3 3

2

t）=-

3 3

2

t²+6

3

t；
③当3＜t≤

18

5

时，P、Q都在线段AB上，
PQ=6-（3t-6）-（2t-6）=18-5t，
S=

1

2

×3

3

×（18-5t）=-

15

2

3

t+27

3

；
故：S=

3 3 2 t2  (0≤t≤2) - 3 3 2 t2+6 3 t (2＜t≤3) - 15 3 2 t+27 3 (3＜t≤ 18 5 )

．

（4）对（3）中的分段函数进行计算后得知当t=2，S有最大值，
此时P与A重合，OP=6，OQ=4，过P作PC⊥OB于C点，计算得OC=3，AC=3

3

，CQ=1，PQ=2

7

①如图①，过P作PM⊥PQ交y轴于M点，过M作MN⊥AC于N，则MN=OC=3，易得Rt△PMN∽△QPC，
有

MN

PC

=

PN

CQ

即

3

3 3

=

PN

1

，得PN=

3

3

，MO=NC=

8

3

3

故M点坐标为(0，

8

3

3

)．
②如图②，过Q作MQ⊥PQ交y轴于M点，通过△MOQ∽△QCP，求得M坐标为(0，-

4

9

3

)．
③如图③，以PQ为直径作⊙D，则⊙D半径r为

7

，再过P作PE⊥y轴于E点，过D作DF⊥y轴于F点，
由梯形中位线求得DF=

7

2

，显然r＜DF，故⊙D与y无交点，那么此时在y轴上无M点使得△MPQ为直角三角形．
综上所述，满足要求的M点(0，

8

3

3

)或(0，-

4

9

3

)．