试题

（2012·历下区三模）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点G，E，连接GF．
（1）求∠AGD的度数；
（2）证明四边形AEFG是菱形；
（3）证明BE=2OG．

解：（1）根据折叠的对称性，可知∠ADG=∠BDG=22.5°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG=45°，
∴∠AGD=45°+67.5°=112.5°．

证明：（2）由对称性，可知AE=EF，AG=FG，
∴∠AEG=90°-22.50°=67.5°，
∴∠AGE=180°-112.5°=67.5°，
∴AE=AG，
∴AE=AG=EF=GF，
∴四边形AEFG是菱形；

证明：（3）∵EF⊥BD，AO⊥BD，
∴EF∥AC，
∴△DOG∽△DFE，
∴

OG

EF

=

DO

DF

=

2

2

，
∴EF=

2

OG，
在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，
∴BE=

2

EF=2OG．
解：（1）根据折叠的对称性，可知∠ADG=∠BDG=22.5°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG=45°，
∴∠AGD=45°+67.5°=112.5°．

证明：（2）由对称性，可知AE=EF，AG=FG，
∴∠AEG=90°-22.50°=67.5°，
∴∠AGE=180°-112.5°=67.5°，
∴AE=AG，
∴AE=AG=EF=GF，
∴四边形AEFG是菱形；

证明：（3）∵EF⊥BD，AO⊥BD，
∴EF∥AC，
∴△DOG∽△DFE，
∴

OG

EF

=

DO

DF

=

2

2

，
∴EF=

2

OG，
在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，
∴BE=

2

EF=2OG．