试题

题目：
青果学院（2012·龙岩模拟）如图，在菱形ABCD中，延长AB到点E，使BE=2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F．
（1）求证：△DFC∽△AFE；
（2）若AE=9，求线段AF的长．
答案
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AE，
∴△DFC∽△AFE；
（2）解：∵△DFC∽△AFE；青果学院
∴
DF
AF
=
DC
AE
，
∵BE=2AB，AE=9，
∴BE=6，AB=3，
∴
DF
3+DF
=
3
9
，
∴DF=
3
2
．
∴AF=AD+DF=3+
3
2
=4.5．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AE，
∴△DFC∽△AFE；
（2）解：∵△DFC∽△AFE；青果学院
∴
DF
AF
=
DC
AE
，
∵BE=2AB，AE=9，
∴BE=6，AB=3，
∴
DF
3+DF
=
3
9
，
∴DF=
3
2
．
∴AF=AD+DF=3+
3
2
=4.5．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
（1）由菱形的性质：DC∥AE，进而证明：△DFC∽△AFE；
（2）由（1）可知：△DFC∽△AFE，利用相似三角形的性质和已知条件即可求出DF的长，进而求出AF的长．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，题目的难度不大，属于基础性题目．
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