试题

（2012·南浔区一模）黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系．例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形，其底与腰之比就为黄金分割比

5 -1

2

，底角平分线与腰的交点为黄金分割点．
（1）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，请你证明点D是腰AB的黄金分割点；
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，若

AB

BC

=

5 -1

2

，则请你求出∠A的度数；
（3）如图3，如果在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a，b，c．若点D是AB的黄金分割点，那么该直角三角形的三边a，b，c之间是什么数量关系？并证明你的结论．

（1）证明：∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
又CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠DCA，∠BDC=72°，
∴AD=CD=BC，
在△BCD和△BAC中，
∠B=∠B，∠BCD=∠A，
∴△BCD∽△BAC，
∴

BC

AB

=

BD

BC

，
∴BC²=AB·BD又BC=AD，（1分）
∴AD²=AB·BD，
∴D是AB的黄金分割点；

（2）解：在底边BC上截取BD=AB，连接AD，
∵

AB

BC

=

5 -1

2

，AB=AC，
∴

BD

BC

=

5 -1

2

，
∴

AC

BC

=

5 -1

2

，
∴

CD

BD

=

CD

AC

=

5 -1

2

，
∴

CD

AC

=

AC

BC

，
又∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴设∠CAB=∠CDA=x，
∴∠BAD=∠BDA=2x，
∴x+2x+x+x=180°，
∴x=36°，
∴∠BAC=108°；

（3）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD为AB上的高，
∴△ADC∽△CDB∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，

BD

BC

=

BC

AB

∴AD=

b2

c

，BD=

a2

c

，（1分）
∵点D是AB的黄金分割点，
∴AD²=BD·AB，（1分）
∴(

b2

c

)2=

a2

c

·c，
该直角三角形的三边a，b，c之间应满足b²=ac．

（1）证明：∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
又CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠DCA，∠BDC=72°，
∴AD=CD=BC，
在△BCD和△BAC中，
∠B=∠B，∠BCD=∠A，
∴△BCD∽△BAC，
∴

BC

AB

=

BD

BC

，
∴BC²=AB·BD又BC=AD，（1分）
∴AD²=AB·BD，
∴D是AB的黄金分割点；

（2）解：在底边BC上截取BD=AB，连接AD，
∵

AB

BC

=

5 -1

2

，AB=AC，
∴

BD

BC

=

5 -1

2

，
∴

AC

BC

=

5 -1

2

，
∴

CD

BD

=

CD

AC

=

5 -1

2

，
∴

CD

AC

=

AC

BC

，
又∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴设∠CAB=∠CDA=x，
∴∠BAD=∠BDA=2x，
∴x+2x+x+x=180°，
∴x=36°，
∴∠BAC=108°；

（3）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD为AB上的高，
∴△ADC∽△CDB∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，

BD

BC

=

BC

AB

∴AD=

b2

c

，BD=

a2

c

，（1分）
∵点D是AB的黄金分割点，
∴AD²=BD·AB，（1分）
∴(

b2

c

)2=

a2

c

·c，
该直角三角形的三边a，b，c之间应满足b²=ac．