试题

（2011·杨浦区二模）已知半径为6的⊙O₁与半径为4的⊙O₂相交于点P、Q，且∠O₁PO₂=120°，点A为⊙O₁上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O₂交于点B，直线O₁A与直线O₂B交于点M．
（1）如图1，求∠AMB的度数；
（2）当点A在⊙O₁上运动时，是否存在∠AMB的度数不同于（1）中结论的情况？若存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠AMB的度数；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AMB的度数同于（1）中结论；
（3）当点A在⊙O₁上运动时，若△APO₁与△BPO₂相似，求线段AB的长．

解：（1）∵A、P都在⊙O₁上，
∴∠A=∠APO₁，
同理，∠PBO₂=∠BPO₂，
∵AB是直线，∠O₁PO₂=120°，
∴∠APO₁+∠O₁PO₂+∠BPO₂=180°，
∴∠APO₁+∠BPO₂=60°，即∠A+∠PBO₂=60°，
∴∠O₁MO₂=180°-60°=120°；
即∠AMB=120°；

（2）存在，如图所示，
∵A、P都在⊙O₁上，
∴∠A=∠APO₁，
同理，∠PBO₂=∠BPO₂，
∴∠APO₁+∠BPO₂=120°，
∵∠M+∠A=∠PBM=180°-∠BPO₂，
∴∠M=180°-∠BPO₂-∠A
=180°-∠BPO₂-∠APO₁=180°-120°=60°；

（3）∵△APO₁与△BPO₂相似，且△APO₁与△BPO₂都是等腰三角形，
∴底角∠APO₁=∠BPO₂，
情况一：当P在A、B之间时，∠APO₁=∠BPO₂=30°，
作O₁H⊥AB，O₂D⊥AB，
∴AP=2HP，BP=2PD，
∵O₁P=6，O_，2P=4，
∴HP=3

3

，DP=2

3

，
∴AB=10

3

．
情况二：当P不在A、B之间时，∠APO₁=∠BPO₂=60°，
∴PA=O₁A=6，PB=O₂B=4，
∴AB=2．
解：（1）∵A、P都在⊙O₁上，
∴∠A=∠APO₁，
同理，∠PBO₂=∠BPO₂，
∵AB是直线，∠O₁PO₂=120°，
∴∠APO₁+∠O₁PO₂+∠BPO₂=180°，
∴∠APO₁+∠BPO₂=60°，即∠A+∠PBO₂=60°，
∴∠O₁MO₂=180°-60°=120°；
即∠AMB=120°；

（2）存在，如图所示，
∵A、P都在⊙O₁上，
∴∠A=∠APO₁，
同理，∠PBO₂=∠BPO₂，
∴∠APO₁+∠BPO₂=120°，
∵∠M+∠A=∠PBM=180°-∠BPO₂，
∴∠M=180°-∠BPO₂-∠A
=180°-∠BPO₂-∠APO₁=180°-120°=60°；

（3）∵△APO₁与△BPO₂相似，且△APO₁与△BPO₂都是等腰三角形，
∴底角∠APO₁=∠BPO₂，
情况一：当P在A、B之间时，∠APO₁=∠BPO₂=30°，
作O₁H⊥AB，O₂D⊥AB，
∴AP=2HP，BP=2PD，
∵O₁P=6，O_，2P=4，
∴HP=3

3

，DP=2

3

，
∴AB=10

3

．
情况二：当P不在A、B之间时，∠APO₁=∠BPO₂=60°，
∴PA=O₁A=6，PB=O₂B=4，
∴AB=2．