试题

（2011·运河区二模）已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），过点C作⊙O的切线CD，过A作CD的垂线，垂足是M点．
（1）如图1，若CD∥AB，求证：AM是⊙O的切线．
（2）如图2，若AB=6，AM=4，求AC的长．

解：（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．∴∠OCM=90°．
∵CD∥AB，
∴∠OCM+∠COA=180°．
∵AM⊥CD，
∴∠AMC=90°．
∴在四边形OAMC中∠OAM=90°．
∵OA为⊙O的半径，
∴AM是⊙O的切线．

（2）连接OC，BC．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∴∠OCM=90°．
∵AM⊥CD，
∴∠AMC=90°．
∴OC∥AM．
∴∠1=∠3．
∵OA=OC，
∴∠3=∠2．即∠BAC=∠CAM．
易知∠ACB=90°，
∴△BAC∽△CAM．
∴

AB

AC

=

AC

AM

．
即AC²=AB·AM=24．
∴AC=2

6

．
解：（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．∴∠OCM=90°．
∵CD∥AB，
∴∠OCM+∠COA=180°．
∵AM⊥CD，
∴∠AMC=90°．
∴在四边形OAMC中∠OAM=90°．
∵OA为⊙O的半径，
∴AM是⊙O的切线．

（2）连接OC，BC．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∴∠OCM=90°．
∵AM⊥CD，
∴∠AMC=90°．
∴OC∥AM．
∴∠1=∠3．
∵OA=OC，
∴∠3=∠2．即∠BAC=∠CAM．
易知∠ACB=90°，
∴△BAC∽△CAM．
∴

AB

AC

=

AC

AM

．
即AC²=AB·AM=24．
∴AC=2

6

．