试题

（2011·张家口一模）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=12

3

，点D是BC中点，点E从点D出发沿DB经每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点F从点D出发以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作正方形EFPQ，使它与等腰△ABC的线段BC的同侧，点E、F同进出发，当PQ经过点A时，点E再以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动．回到点D时停止运动，点F也随之停止．设点E、F运动的时间是t秒（t＞0）
（1）设EF的长为y，在点E从点D向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）
（2）t为何值时，PQ经过点A？
（3）当BE=5

3

时，求△ABC与正方形EFPQ重叠部分的面积？
（4）随着时间t的变化，△ABC与正方形EFPQ重叠部分的周长在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

解：（1）y与t之间的函数关系式：y=2t；

（2）连接AD，设经过ts，
可得AD⊥BC，
BD=

1

2

BC=6

3

，
AD=BD·tan∠B=6，
又知正方形EFPQ，PQ经过点A，
即AD=EF，2t=6，
解得t=3s，

（3）EF=BC-2BE=12

3

-2×5

3

=2

3

，
△ABC与正方形EFPQ重叠部分的面积为：2

3

×2

3

=12；

（4）当t=3，既PQ经过点A时，△ABC与正方形EFPQ重叠部分的周长达到最大值w，设此时QE交AB于M，PF交AC与N，由（1）知AD=EF=6，
∴AQ=ED=3，
∴在Rt△AQM中，QM=

3

，AM=2

3

，又ME=6-

3

，
∴w=2（AM+ME+ED）=2

3

+18
∵该最大值能持续到点E回到点D，
∴3≤t≤6时，△ABC与正方形EFPQ重叠部分的周长达到最大值2

3

+18．
解：（1）y与t之间的函数关系式：y=2t；

（2）连接AD，设经过ts，
可得AD⊥BC，
BD=

1

2

BC=6

3

，
AD=BD·tan∠B=6，
又知正方形EFPQ，PQ经过点A，
即AD=EF，2t=6，
解得t=3s，

（3）EF=BC-2BE=12

3

-2×5

3

=2

3

，
△ABC与正方形EFPQ重叠部分的面积为：2

3

×2

3

=12；

（4）当t=3，既PQ经过点A时，△ABC与正方形EFPQ重叠部分的周长达到最大值w，设此时QE交AB于M，PF交AC与N，由（1）知AD=EF=6，
∴AQ=ED=3，
∴在Rt△AQM中，QM=

3

，AM=2

3

，又ME=6-

3

，
∴w=2（AM+ME+ED）=2

3

+18
∵该最大值能持续到点E回到点D，
∴3≤t≤6时，△ABC与正方形EFPQ重叠部分的周长达到最大值2

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+18．