试题

（2011·郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，x 轴上有两点A（-2，0），B（2，0），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点E 是AD边的中点，F 是x轴上一动点，连接EF，过点E作EG⊥EF，交BC所在的直线与点G，连接FG．
（1）当点F与点A重合时，易得

EF

EG

=

1

2

；若点F与点A不重合时，试问

EF

EG

的值是否改变？直接写出正确判断；
（2）设点F的横坐标为x（-2＜x＜2），△FBG的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）当点F在 x轴上运动时，判断有几个位置能够使得以点G为顶点三角形和以点B、F、G为顶点的三角形全等？直接写出相应的点F的坐标．

解：（1）

EF

EG

=

1

2

仍然成立．
证明：
过点E作EH⊥BC于点H．
∴EH⊥AE．
∴∠GEH+∠FEH=∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠GEH=∠AEF．而∠EAF=∠EHG=90°，
∴△EAF∽△EHG．
∴

AF

HG

=

EA

EH

=

EF

EG

=

1

2

．

（2）过点E作EH⊥BC于点H．
∴EH⊥AE．
∴∠GEH+∠FEH=∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠GEH=∠AEF．而∠EAF=∠EHG=90°，
∴△EAF∽△EHG．
∴

AF

HG

=

EA

EH

=

EF

EG

=

1

2

．
∵AF=x-（-2）=x+2，
∴HG=2（x+2）=2x+4．
∴BG=BH+HG=2+2x+4=2x+6．
∵BF=2-x．
∴△FBG的面积：S=

1

2

BF×BG=

1

2

（2-x）（2x+6）．
即S=-(x+

1

2

)2+

25

4

．
∴当x=-

1

2

时，S的最大值为

25

4

．

（3）满足要求的点F共有三个位置，
如图1：当F与A重合时，△EFG≌△BGF，
此时点F的坐标为（-2，0）；
如图2：∵△EGF≌△BFG时，EF=FB，
设AF=x，则EF=BF=4-x，
在Rt△EAF中，EF²=AE²+AF²，
∴（4-x）²=x²+4，
解得：x=

3

2

，
∴OF=OA-AF=2-

3

2

=

1

2

，
∴此时F点的坐标为（-

1

2

，0）；
如图3：设AF=x，
则EG=BF=4+x，EF=

x2+4

，GH=2+EF，
∵EG²=EH²+GH²，
∴x=

8

3

，
∴OF=

14

3

，
∴点F的坐标为（-

14

3

，0）．
EH=4，即F₁（-2，0），F2(-

1

2

，0)，F3(-

14

3

，0)．
解：（1）

EF

EG

=

1

2

仍然成立．
证明：
过点E作EH⊥BC于点H．
∴EH⊥AE．
∴∠GEH+∠FEH=∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠GEH=∠AEF．而∠EAF=∠EHG=90°，
∴△EAF∽△EHG．
∴

AF

HG

=

EA

EH

=

EF

EG

=

1

2

．

（2）过点E作EH⊥BC于点H．
∴EH⊥AE．
∴∠GEH+∠FEH=∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠GEH=∠AEF．而∠EAF=∠EHG=90°，
∴△EAF∽△EHG．
∴

AF

HG

=

EA

EH

=

EF

EG

=

1

2

．
∵AF=x-（-2）=x+2，
∴HG=2（x+2）=2x+4．
∴BG=BH+HG=2+2x+4=2x+6．
∵BF=2-x．
∴△FBG的面积：S=

1

2

BF×BG=

1

2

（2-x）（2x+6）．
即S=-(x+

1

2

)2+

25

4

．
∴当x=-

1

2

时，S的最大值为

25

4

．

（3）满足要求的点F共有三个位置，
如图1：当F与A重合时，△EFG≌△BGF，
此时点F的坐标为（-2，0）；
如图2：∵△EGF≌△BFG时，EF=FB，
设AF=x，则EF=BF=4-x，
在Rt△EAF中，EF²=AE²+AF²，
∴（4-x）²=x²+4，
解得：x=

3

2

，
∴OF=OA-AF=2-

3

2

=

1

2

，
∴此时F点的坐标为（-

1

2

，0）；
如图3：设AF=x，
则EG=BF=4+x，EF=

x2+4

，GH=2+EF，
∵EG²=EH²+GH²，
∴x=

8

3

，
∴OF=

14

3

，
∴点F的坐标为（-

14

3

，0）．
EH=4，即F₁（-2，0），F2(-

1

2

，0)，F3(-

14

3

，0)．