试题

（2009·湘潭）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q．
（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；
（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判断l是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）直线AB上是否存在点P，使△POQ为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）证明：∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△OAP∽△PBQ，则

AP

OA

=

BQ

BP

，
即OA·BQ=AP·BP．（3分）

（2）解：∵OA·BQ=AP·BP，即BQ=

m(4-m)

3

，
∴l=3-

4m-m2

3

=

1

3

(m2-4m+4)+

5

3

=

1

3

(m-2)2+

5

3

∴当m=2时，l有最小值

5

3

．（6分）

（3）解法一：
∵△POQ是等腰三角形
①若P在线段AB上，∠OPQ=90°
∴PO=PQ，又△OAP∽△PBQ，
∴△OAP≌△PBQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P点坐标（1，3）；（8分）
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P点的坐标（7，3）；
③当P在线段BA的延长线上时，显然不成立；
故存在P₁（1，3），P₂（7，3）使△POQ为等腰三角形；（10分）

解法二：
∵△POQ是等腰三角形
∴PO=PQ，
即PA²+AO²=PB²+BQ²（7分）
则m²+3²=（4-m）²+（

4m-m2

3

）²（8分）
整理得m⁴-8m³+16m²-72m+63=0
m⁴-8m³+7m²+9m²-72m+63=0
m²（m²-8m+7）+9（m²-8m+7）=0
（m-1）（m-7）（m²+9）=0
∴m₁=1，m₂=7，m²=-9（舍去）
故存在P₁（1，3），P₂（7，3）使△POQ为等腰三角形．（10分）
（1）证明：∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△OAP∽△PBQ，则

AP

OA

=

BQ

BP

，
即OA·BQ=AP·BP．（3分）

（2）解：∵OA·BQ=AP·BP，即BQ=

m(4-m)

3

，
∴l=3-

4m-m2

3

=

1

3

(m2-4m+4)+

5

3

=

1

3

(m-2)2+

5

3

∴当m=2时，l有最小值

5

3

．（6分）

（3）解法一：
∵△POQ是等腰三角形
①若P在线段AB上，∠OPQ=90°
∴PO=PQ，又△OAP∽△PBQ，
∴△OAP≌△PBQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P点坐标（1，3）；（8分）
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P点的坐标（7，3）；
③当P在线段BA的延长线上时，显然不成立；
故存在P₁（1，3），P₂（7，3）使△POQ为等腰三角形；（10分）

解法二：
∵△POQ是等腰三角形
∴PO=PQ，
即PA²+AO²=PB²+BQ²（7分）
则m²+3²=（4-m）²+（

4m-m2

3

）²（8分）
整理得m⁴-8m³+16m²-72m+63=0
m⁴-8m³+7m²+9m²-72m+63=0
m²（m²-8m+7）+9（m²-8m+7）=0
（m-1）（m-7）（m²+9）=0
∴m₁=1，m₂=7，m²=-9（舍去）
故存在P₁（1，3），P₂（7，3）使△POQ为等腰三角形．（10分）