试题

（2010·包头）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=a厘米（a＞4）．动点P、Q同时从C点出发，点P在线段CB上以1厘米/秒的速度由C点向B点运动，点Q在线段CD上以相同的速度由C点向D点运动，过点P作直线垂直于BC，分别交BQ、AD于点E、F，当点Q到达终点D时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）如图①，若a=5厘米，在运动过程中，当点E在矩形ABCD的对角线AC上时，求t的值；
（2）如图②，若a=6厘米，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得∠BFQ=90°？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若经过t秒后，恰好使矩形ABPF的面积与直角三角形BCQ的面积相等，求a的取值范围．

解：（1）∵EF∥AB，
∴△CEP∽△CAB，
∴

EP

AB

=

CP

BC

，
即

PE

4

=

t

5

，
∴PE=

4

5

t，
∵EF∥CD，
∴△BPE∽△BCQ，
∴

BP

BC

=

PE

CQ

，
即

5-t

5

=

4 5 t

t

，
解得t₁=1，t₂=0，
∵t＞0，
∴t=1，
答：t的值是1秒．

（2）连接BF、FQ，
根据勾股定理得：BF²+FQ²=BQ²，
即4²+（6-t）²+t²+（4-t）²=t²+6²，
解得：t=2，t=8＞4（舍去）．
答：在运动过程中，存在某一时刻t，使得∠BFQ=90°，此时t的值是2秒．

（3）根据面积公式得：

1

2

at=4（a-t），
∴at=8（a-t），
∴（a+8）t=8a，
解得：t=

8a

a+8

，
根据题意得：t≤4，
∴

8a

a+8

≤4，
∴a≤8，
∵a＞4，
∴4＜a≤8．
答：a的取值范围是4＜a≤8．
解：（1）∵EF∥AB，
∴△CEP∽△CAB，
∴

EP

AB

=

CP

BC

，
即

PE

4

=

t

5

，
∴PE=

4

5

t，
∵EF∥CD，
∴△BPE∽△BCQ，
∴

BP

BC

=

PE

CQ

，
即

5-t

5

=

4 5 t

t

，
解得t₁=1，t₂=0，
∵t＞0，
∴t=1，
答：t的值是1秒．

（2）连接BF、FQ，
根据勾股定理得：BF²+FQ²=BQ²，
即4²+（6-t）²+t²+（4-t）²=t²+6²，
解得：t=2，t=8＞4（舍去）．
答：在运动过程中，存在某一时刻t，使得∠BFQ=90°，此时t的值是2秒．

（3）根据面积公式得：

1

2

at=4（a-t），
∴at=8（a-t），
∴（a+8）t=8a，
解得：t=

8a

a+8

，
根据题意得：t≤4，
∴

8a

a+8

≤4，
∴a≤8，
∵a＞4，
∴4＜a≤8．
答：a的取值范围是4＜a≤8．