试题

（2010·南充）已知抛物线y=-

1

2

x2+bx+4上有不同的两点E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线y=-

1

2

x2+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F？

解：（1）抛物线y=-

1

2

x2+bx+4的对称轴为x=-

b

2×(- 1 2 )

=b；（1分）
∵抛物线上不同两个点E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）的纵坐标相同，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则b=

(k+3)+(-k-1)

2

=1，且k≠-2；
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+x+4；（2分）


（2）抛物线y=-

1

2

x2+x+4与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴AB=4

2

，AM=BM=2

2

；（3分）
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°；
∴∠BCM=∠AMD，
∴△BCM∽△AMD；（4分）
∴

BC

AM

=

BM

AD

，即

n

2 2

=

2 2

m

，n=

8

m

；
故n和m之间的函数关系式为n=

8

m

（m＞0）；（5分）

（3）∵F（-k-1，-k²+1）在y=-

1

2

x2+x+4上，
∴将F代入函数解析式得：-

1

2

(-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1，
化简得，k²-4k+3=0，∴k₁=1，k₂=3；
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8）；（6分）
①MF过M（2，2）和F₁（-2，0），设MF为y=kx+b，
则

2k+b=2 -2k+b=0

，解得

k= 1 2 b=1

；
∴直线MF的解析式为y=

1

2

x+1；
直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1）；
若MP过点F（-2，0），则n₁=4-1=3，m₁=

8

3

；
若MQ过点F（-2，0），则m₂=4-（-2）=6，n₂=

4

3

；（7分）
②MF过M（2，2）和F₂（-4，-8），设MF为y=kx+b，
则

2k+b=2 -4k+b=-8

，解得

k= 5 3 b=- 4 3

；
∴直线MF的解析式为y=

5

3

x-

4

3

；
直线MF与x轴交点为（

4

5

，0），与y轴交点为（0，-

4

3

）；
若MP过点F（-4，-8），则n₃=4-（-

4

3

）=

16

3

，m₃=

3

2

；
若MQ过点F（-4，-8），则m₄=4-

4

5

=

16

5

，n₄=

5

2

；（8分）
故当

m1= 8 3 n1=3

，

m2=6 n2= 4 3

，

m3= 3 2 n3= 16 3

或

m4= 16 5 n4= 5 2

时，∠PMQ的边过点F．
解：（1）抛物线y=-

1

2

x2+bx+4的对称轴为x=-

b

2×(- 1 2 )

=b；（1分）
∵抛物线上不同两个点E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）的纵坐标相同，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则b=

(k+3)+(-k-1)

2

=1，且k≠-2；
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+x+4；（2分）


（2）抛物线y=-

1

2

x2+x+4与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴AB=4

2

，AM=BM=2

2

；（3分）
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°；
∴∠BCM=∠AMD，
∴△BCM∽△AMD；（4分）
∴

BC

AM

=

BM

AD

，即

n

2 2

=

2 2

m

，n=

8

m

；
故n和m之间的函数关系式为n=

8

m

（m＞0）；（5分）

（3）∵F（-k-1，-k²+1）在y=-

1

2

x2+x+4上，
∴将F代入函数解析式得：-

1

2

(-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1，
化简得，k²-4k+3=0，∴k₁=1，k₂=3；
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8）；（6分）
①MF过M（2，2）和F₁（-2，0），设MF为y=kx+b，
则

2k+b=2 -2k+b=0

，解得

k= 1 2 b=1

；
∴直线MF的解析式为y=

1

2

x+1；
直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1）；
若MP过点F（-2，0），则n₁=4-1=3，m₁=

8

3

；
若MQ过点F（-2，0），则m₂=4-（-2）=6，n₂=

4

3

；（7分）
②MF过M（2，2）和F₂（-4，-8），设MF为y=kx+b，
则

2k+b=2 -4k+b=-8

，解得

k= 5 3 b=- 4 3

；
∴直线MF的解析式为y=

5

3

x-

4

3

；
直线MF与x轴交点为（

4

5

，0），与y轴交点为（0，-

4

3

）；
若MP过点F（-4，-8），则n₃=4-（-

4

3

）=

16

3

，m₃=

3

2

；
若MQ过点F（-4，-8），则m₄=4-

4

5

=

16

5

，n₄=

5

2

；（8分）
故当

m1= 8 3 n1=3

，

m2=6 n2= 4 3

，

m3= 3 2 n3= 16 3

或

m4= 16 5 n4= 5 2

时，∠PMQ的边过点F．