试题

（2010·南京）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．

解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=

1

2

×2×2=2
当点E与点A不重合时，0＜x≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF
在△AME和△DMF中

∠A=∠MDF AM=DM ∠AME=∠DMF

，
∴△AME≌△DMF（ASA）
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=

x2+1

∴EF=2ME=2

x2+1

过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴

AM

NM

=

ME

MG

，即

ME

MG

=

1

2

∴MG=2ME=2

x2+1

∴y=

1

2

EF×MG=

1

2

×2

x2+1

×2

x2+1

=2x²+2
∴y=2x²+2，其中0≤x≤2；（6分）

（2）如图，PP′即为P点运动的距离；
在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；
∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG；
∴tan∠MBG=

MG

BG

=2，
∴tan∠GMG′=tan∠MBG=

GG′

MG

=2；
∴GG′=2MG=4；
△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，
∴PP′是△MGG′的中位线；
∴PP′=

1

2

GG′=2；
即：点P运动路线的长为2．（8分）
解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=

1

2

×2×2=2
当点E与点A不重合时，0＜x≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF
在△AME和△DMF中

∠A=∠MDF AM=DM ∠AME=∠DMF

，
∴△AME≌△DMF（ASA）
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=

x2+1

∴EF=2ME=2

x2+1

过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴

AM

NM

=

ME

MG

，即

ME

MG

=

1

2

∴MG=2ME=2

x2+1

∴y=

1

2

EF×MG=

1

2

×2

x2+1

×2

x2+1

=2x²+2
∴y=2x²+2，其中0≤x≤2；（6分）

（2）如图，PP′即为P点运动的距离；
在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；
∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG；
∴tan∠MBG=

MG

BG

=2，
∴tan∠GMG′=tan∠MBG=

GG′

MG

=2；
∴GG′=2MG=4；
△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，
∴PP′是△MGG′的中位线；
∴PP′=

1

2

GG′=2；
即：点P运动路线的长为2．（8分）