试题

（2010·日照）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC²=2AB·CE．

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD是底边BC上的高，（1分）
又∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点；（3分）

（2）∵∠CBE与∠CAD是

DE

所对的圆周角，
∴∠CBE=∠CAD，（5分）
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；（6分）

（3）由△BEC∽△ADC，知

CD

CE

=

AC

BC

，
即CD·BC=AC·CE，（8分）
∵D是BC的中点，
∴CD=

1

2

BC，
又∵AB=AC，
∴CD·BC=AC·CE=

1

2

BC·BC=AB·CE，
即BC²=2AB·CE．（10分）
证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD是底边BC上的高，（1分）
又∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点；（3分）

（2）∵∠CBE与∠CAD是

DE

所对的圆周角，
∴∠CBE=∠CAD，（5分）
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；（6分）

（3）由△BEC∽△ADC，知

CD

CE

=

AC

BC

，
即CD·BC=AC·CE，（8分）
∵D是BC的中点，
∴CD=

1

2

BC，
又∵AB=AC，
∴CD·BC=AC·CE=

1

2

BC·BC=AB·CE，
即BC²=2AB·CE．（10分）