试题

（2010·通化）如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB·AF=CB·CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点．设DP=x cm，梯形BCDP的面积为ycm²．
①求y关于x的函数关系式．
②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由．

证明：（1）∵AD=CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，（1分）
∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF．
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠DCF=∠DAF=∠B．（2分）
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，
∴△DCF∽△ABC．（3分）
∴

CD

AB

=

CF

CB

，即

CD

AB

=

AF

CB

，
∴AB·AF=CB·CD；（4分）

（2）解：连接PB，
①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=

152-92

=12，（6分）
∴CF=AF=6．
∴y=

1

2

（x+9）×6=3x+27；（7分）
②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC．
AE=BE=

1

2

AB=

15

2

，EF=

9

2

．（8分）
由∠EAD=∠AFE=90°，∠AEF=∠DEA，得△AEF∽△DEA．
Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
∴DF=8．
∴DE=DF+FE=8+

9

2

=

25

2

．（9分）
∵y=3x+27（0≤x≤

25

2

），函数值y随着x的增大而增大，
∴当x=

25

2

时，y有最大值，此时y=

129

2

．（10分）
证明：（1）∵AD=CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，（1分）
∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF．
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠DCF=∠DAF=∠B．（2分）
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，
∴△DCF∽△ABC．（3分）
∴

CD

AB

=

CF

CB

，即

CD

AB

=

AF

CB

，
∴AB·AF=CB·CD；（4分）

（2）解：连接PB，
①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=

152-92

=12，（6分）
∴CF=AF=6．
∴y=

1

2

（x+9）×6=3x+27；（7分）
②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC．
AE=BE=

1

2

AB=

15

2

，EF=

9

2

．（8分）
由∠EAD=∠AFE=90°，∠AEF=∠DEA，得△AEF∽△DEA．
Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
∴DF=8．
∴DE=DF+FE=8+

9

2

=

25

2

．（9分）
∵y=3x+27（0≤x≤

25

2

），函数值y随着x的增大而增大，
∴当x=

25

2

时，y有最大值，此时y=

129

2

．（10分）