试题

（2010·芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧

AB

上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．
（1）求证：PM=PN；
（2）若BD=4，PA=

3

2

AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

（1）证明：连接OM，
∵MP是圆的切线，∴OM⊥PM，
∴∠OMD+∠DMP=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠OND+∠ODM=90°，
∵∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD，
∴∠DMP=∠MNP，
∴PM=PN．

（2）解：设BC交OM于E，
∵BD=4，OA=OB=

1

2

BD=2，
∴PA=3，
∴PO=5；
∵BC∥MP，OM⊥MP，
∴OM⊥BC，∴BE=

1

2

BC；
∵∠BOM+∠MOP=90°，
在直角三角形OMP中，
∠MPO+∠MOP=90°，
∴∠BOM=∠MPO；
∵∠BEO=∠OMP=90°，
∴△OMP∽△BEO，
∴

OM

OP

=

BE

BO

，即

2

5

=

BE

2

，
解得：BE=

4

5

，
∴BC=

8

5

．
（1）证明：连接OM，
∵MP是圆的切线，∴OM⊥PM，
∴∠OMD+∠DMP=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠OND+∠ODM=90°，
∵∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD，
∴∠DMP=∠MNP，
∴PM=PN．

（2）解：设BC交OM于E，
∵BD=4，OA=OB=

1

2

BD=2，
∴PA=3，
∴PO=5；
∵BC∥MP，OM⊥MP，
∴OM⊥BC，∴BE=

1

2

BC；
∵∠BOM+∠MOP=90°，
在直角三角形OMP中，
∠MPO+∠MOP=90°，
∴∠BOM=∠MPO；
∵∠BEO=∠OMP=90°，
∴△OMP∽△BEO，
∴

OM

OP

=

BE

BO

，即

2

5

=

BE

2

，
解得：BE=

4

5

，
∴BC=

8

5

．