试题

（2010·岳阳）已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D．
（1）当点E为DB上任意一点（点D、B除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，AF与CD的延长线交于点G（如图①）．
求证：AC²=AG·AF．
（2）李明证明（1）的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点（点A、D除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与⊙O相交于点H（如图②）．连接FH后，他惊奇地发现∠GFH=∠AFC．根据这一条件，可证GF·GA=GH·GC．请你帮李明给出证明．
（3）当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点（点A、B除外）时，如图③、④所示，还有许多结论成立．请你根据图③或图④再写出两个类似问题（1）、（2）的结论（两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外）（不要求证明）．

（1）证明：延长CG交⊙O于H，
∵CD⊥AB，
∴AB平分CH，弧CA=弧AH，
∴∠ACH=∠AFC，
又∠CAG=∠FAC，
∴△AGC∽△ACF，
∴

AG

AC

=

AC

AF

，
即AC²=AG·AF．

（2）证明：∵CH⊥AB，
∴弧AC=弧AH，
∴∠AFC=∠ACG
又∠AFC=∠GFH，
∴∠ACG=∠GFH，
 又∠G=∠G，
∴△GFH∽△GCA，
∴

GF

GC

=

GH

GA

，
∴GF·GA=GC·CH．

（3）答：CD²=AD·DB，AC²=AD·AB；EF·EC=EA·EB，AF·GA=AD·AB．
（1）证明：延长CG交⊙O于H，
∵CD⊥AB，
∴AB平分CH，弧CA=弧AH，
∴∠ACH=∠AFC，
又∠CAG=∠FAC，
∴△AGC∽△ACF，
∴

AG

AC

=

AC

AF

，
即AC²=AG·AF．

（2）证明：∵CH⊥AB，
∴弧AC=弧AH，
∴∠AFC=∠ACG
又∠AFC=∠GFH，
∴∠ACG=∠GFH，
 又∠G=∠G，
∴△GFH∽△GCA，
∴

GF

GC

=

GH

GA

，
∴GF·GA=GC·CH．

（3）答：CD²=AD·DB，AC²=AD·AB；EF·EC=EA·EB，AF·GA=AD·AB．