试题

（2011·江西模拟）矩形ABCD中，已知：AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF，设AE=x，△FCG的面积=y．
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求x和y的值；
（2）如图2，①求y与x之间的函数关系式与自变量的取值范围；
②连接AC，当EF∥AC时，求x和y的值；
③当△CFG是直角三角形时，求x和y的值．

解：（1）作FM⊥CD于M，
∵△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴x=AE=DH=6-2=4，DG=AH=2，
∴y=△FCG的面积=

1

2

×6×2=6；

（2）①∵△AEH∽△DHG，
∴

DG

AH

=

DH

AE

，
即

DG

2

=

4

x

，
∴DG=

8

x

∴y=△FCG的面积=

1

2

×(8-

8

x

)×2=8-

8

x

，
∴1＜x≤8；
②∵△DHG∽△DAC，
∴

DH

DA

=

DG

DC

，
即

4

6

=

DG

8

，
∴DG=

16

3

．
∴GC=8-

16

3

=

8

3

，
∴y=

1

2

×

8

3

×2=

8

3

，
∴x=

3

2

．
③当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，
∴△AEH∽△BCE
∴

AE

BC

=

AH

BE

，
即

x

6

=

2

8-x

，
解得：x=2或x=6．
∴y=4或y=

20

3

．
当∠GCF=90°时，此时F点正好落在边BC上，
则△HAE∽△GDH，
则

HA

AE

=

GD

DH

，
解得：x=4+2

2

或4-2

2

，
对应的y=4+2

2

或4-2

2

．
当∠CGF=90°时，C，G，H共线，所以不可能；
解：（1）作FM⊥CD于M，
∵△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴x=AE=DH=6-2=4，DG=AH=2，
∴y=△FCG的面积=

1

2

×6×2=6；

（2）①∵△AEH∽△DHG，
∴

DG

AH

=

DH

AE

，
即

DG

2

=

4

x

，
∴DG=

8

x

∴y=△FCG的面积=

1

2

×(8-

8

x

)×2=8-

8

x

，
∴1＜x≤8；
②∵△DHG∽△DAC，
∴

DH

DA

=

DG

DC

，
即

4

6

=

DG

8

，
∴DG=

16

3

．
∴GC=8-

16

3

=

8

3

，
∴y=

1

2

×

8

3

×2=

8

3

，
∴x=

3

2

．
③当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，
∴△AEH∽△BCE
∴

AE

BC

=

AH

BE

，
即

x

6

=

2

8-x

，
解得：x=2或x=6．
∴y=4或y=

20

3

．
当∠GCF=90°时，此时F点正好落在边BC上，
则△HAE∽△GDH，
则

HA

AE

=

GD

DH

，
解得：x=4+2

2

或4-2

2

，
对应的y=4+2

2

或4-2

2

．
当∠CGF=90°时，C，G，H共线，所以不可能；