试题

（2011·静安区二模）如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）如果⊙O₁与⊙O相交于点A、C，且⊙O₁与⊙O的圆心距为2，当BD=

1

3

OB时，求⊙O₁的半径；
（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．

解：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE=

1

2

AC=

1

2

x，OE=

AO2-AE2

=

25- 1 4 x2

．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，∴△ODE∽△AOE．
∴

OD

OE

=

AO

AE

，∵OD=y+5，∴

y+5

25- 1 4 x2

=

5

x 2

．
∴y关于x的函数解析式为：y=

5 100-x2 -5x

x

．
定义域为：0＜x＜5

2

．（1分）

（2）当BD=

1

3

OB时，y=

5

3

，

5

3

=

5 100-x2 -5x

x

．
∴x=6．
∴AE=

1

2

x=3，OE=

52-32

=4．
当点O₁在线段OE上时，O₁E=OE-OO₁=2，O1A=

O1E2+AE2

=

22+32

=

13

．
当点O₁在线段EO的延长线上时，O₁E=OE+OO₁=6，O1A=

O1E2+AE2

=

62+32

=3

5

．
⊙O₁的半径为

13

或3

5

．

（3）存在，当点C为

AB

的中点时，△DCB∽△DOC．
证明如下：∵当点C为

AB

的中点时，∠BOC=∠AOC=

1

2

∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=

180-45°

2

=67.5°，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．
∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．
解：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE=

1

2

AC=

1

2

x，OE=

AO2-AE2

=

25- 1 4 x2

．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，∴△ODE∽△AOE．
∴

OD

OE

=

AO

AE

，∵OD=y+5，∴

y+5

25- 1 4 x2

=

5

x 2

．
∴y关于x的函数解析式为：y=

5 100-x2 -5x

x

．
定义域为：0＜x＜5

2

．（1分）

（2）当BD=

1

3

OB时，y=

5

3

，

5

3

=

5 100-x2 -5x

x

．
∴x=6．
∴AE=

1

2

x=3，OE=

52-32

=4．
当点O₁在线段OE上时，O₁E=OE-OO₁=2，O1A=

O1E2+AE2

=

22+32

=

13

．
当点O₁在线段EO的延长线上时，O₁E=OE+OO₁=6，O1A=

O1E2+AE2

=

62+32

=3

5

．
⊙O₁的半径为

13

或3

5

．

（3）存在，当点C为

AB

的中点时，△DCB∽△DOC．
证明如下：∵当点C为

AB

的中点时，∠BOC=∠AOC=

1

2

∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=

180-45°

2

=67.5°，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．
∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．