试题

题目：
青果学院（2011·闵行区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．
求证：（1）△DEF∽△BDE；
（2）DG·DF=DB·EF．
答案
证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．（1分）
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．（1分）
∴∠BDE=∠CED．（1分）
∵∠EDF=∠ABE，
∴△DEF∽△BDE．（2分）

（2）由△DEF∽△BDE，得
DB
DE
=
DE
EF
．（1分）
∴DE2=DB·EF．（1分）
由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．（1分）
∵∠GDE=∠EDF，
∴△GDE∽△EDF．（1分）
∴
DG
DE
=
DE
DF
．（1分）
∴DE2=DG·DF．（1分）
∴DG·DF=DB·EF．（1分）
证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．（1分）
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．（1分）
∴∠BDE=∠CED．（1分）
∵∠EDF=∠ABE，
∴△DEF∽△BDE．（2分）

（2）由△DEF∽△BDE，得
DB
DE
=
DE
EF
．（1分）
∴DE2=DB·EF．（1分）
由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．（1分）
∵∠GDE=∠EDF，
∴△GDE∽△EDF．（1分）
∴
DG
DE
=
DE
DF
．（1分）
∴DE2=DG·DF．（1分）
∴DG·DF=DB·EF．（1分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）根据AB=AC，求出∠ABC=∠ACB，结合DE∥BC，得出∠BDE=∠CED，再根据∠EDF=∠ABE，得出△DEF∽△BDE．
（2）由△DEF∽△BDE，得出△DEF∽△BDE，从而推出∠BED=∠DFE，结合∠GDE=∠EDF，得出DE2=DG·DF，从而得到DG·DF=DB·EF．
此题考查了相似三角形的判定与性质，解答过程中要用到平行线的性质及同角的补角相等等知识，难度不大．
证明题．
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