试题

（2011·浦东新区二模）如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC=∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP=x，DQ=y．
（1）求CD的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠DAQ=2∠BAC时，求CP的值．

解：（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC∽△ABC，
∴

CD

BD

=

BC

AB

，
∵AB=4，BC=BD=2，
∴CD=1；

（2）∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC．
∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AC=AB=4，
作AH⊥BC，垂足为点H．
∴BH=CH=1．
作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH．
∴

CE

CH

=

CD

CA

，即

CE

1

=

1

4

．
∴CE=

1

4

，BE=

7

4

．
又∵DE∥PQ
∴

DQ

BD

=

EP

BE

，即

y

2

=

x+ 1 4

7 4

，
整理，得y=

8

7

x+

2

7

．
定义域为x＞0．

（3）
∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，
∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．
∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，
∴∠ABD=∠DQA．
∴AQ=AB=4．
作AF⊥BQ，垂足为点F，可得QF=

y+2

2

，DF=

y-2

2

．
∴32-(

y-2

2

)2=42-(

y+2

2

)2．
解得y=

7

2

，
∴

8

7

x+

2

7

=

7

2

．
解得x=

45

16

，
即CP=

45

16

．
解：（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC∽△ABC，
∴

CD

BD

=

BC

AB

，
∵AB=4，BC=BD=2，
∴CD=1；

（2）∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC．
∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AC=AB=4，
作AH⊥BC，垂足为点H．
∴BH=CH=1．
作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH．
∴

CE

CH

=

CD

CA

，即

CE

1

=

1

4

．
∴CE=

1

4

，BE=

7

4

．
又∵DE∥PQ
∴

DQ

BD

=

EP

BE

，即

y

2

=

x+ 1 4

7 4

，
整理，得y=

8

7

x+

2

7

．
定义域为x＞0．

（3）
∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，
∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．
∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，
∴∠ABD=∠DQA．
∴AQ=AB=4．
作AF⊥BQ，垂足为点F，可得QF=

y+2

2

，DF=

y-2

2

．
∴32-(

y-2

2

)2=42-(

y+2

2

)2．
解得y=

7

2

，
∴

8

7

x+

2

7

=

7

2

．
解得x=

45

16

，
即CP=

45

16

．