试题

题目：
（2011·石景山区二模）（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，E是AD上一点，EC∥AB，EB∥CD，若S△DEC=1，S△ABE=3，则S△BCE=
3
3
；若S△DEC=S1，S△ABE=S2，S△BCE=S，请直接写出S与S1、S2间的关系式：
S2=S1·S2
S2=S1·S2
；
（2）如图2，△ABC、△DCE、△GEF都是等边三角形，且A、D、G在同一直线上，B、C、E、F也在同一直线上，S△ABC=4，S△DCE=9，试利用（1）中的结论得△GEF的面积为
81
4
81
4
．
青果学院
答案
3

S2=S1·S2

81
4

解：（1）∵EC∥AB，
∴∠A=∠CED，
又∵EB∥CD，
∴∠AEB=∠D，
∴△ABE∽△ECD，
∴S△ABE：S△ECD=BE2：CD2=3：1，
∴BE：CD=
3
：1，
又∵CD∥BE，
∴S△BCE：S△DEC=BE：CD=
3
，
∴S△BCE=
3
S△DEC=
3
；
同上面的求法一样可得到：S2=S1·S2；

（2）∵△ABC、△DCE、△GEF都是等边三角形，
∴AB∥DC∥GE，AC∥DE∥GF，
由（1）结论得到：S△ACD2=S△ABC·S△ECD①，S△DCE2=S△ACD·S△DEG②，S△EGD2=S△DCE·S△GEF③，
而S△ABC=4，S△DCE=9，
由①得S△ACD2=4×9=36，
∴S△ACD=6，
由②得，92=6×S△DEG，
∴S△DEG=
27
2
，
由③得，（
27
2
）2=9S△GEF，
∴S△GEF=
81
4
．
故答案为
3
，S2=S1·S2；
81
4
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的面积．
（1）根据平行线的性质可得，∠A=∠CED，∠AEB=∠D，则△ABE∽△ECD；作AF⊥BE垂足为F，CG⊥BE垂足为G，根据已知得AF：CG=3：2，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，得出答案即可．
（2）利用等边三角形的性质易得AB∥DC∥GE，AC∥DE∥GF，由此根据（1）中的结论可得到S△ACD2=S△ABC·S△ECD①，S△DCE2=S△ACD·S△DEG②，S△EGD2=S△DCE·S△GEF③，然后把S△ABC=4，S△DCE=9代入依次进行计算即可求出△GEF的面积．
本题考查了三角形相似的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了三角形的面积公式，特别是等高的两三角形面积的比等于底边的比．
计算题．
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