试题

（2011·石景山区二模）已知：如图，抛物线y=ax²+bx-2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OC=OA，△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若平行于x轴的动直线DE从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、点D，同时动点P从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．当点P运动到点O时，直线DE与点P都停止运动．连接DP，设点P的运动时间为t秒．
①当t为何值时，

1

ED

+

1

OP

的值最小，并求出最小值；
②是否存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图，由抛物线y=ax²+bx-2得：C（0，-2），
∴OA=OC=2，
∴A（2，0），
∵△ABC的面积为2，
∴AB=2，
∴B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C（0，-2），
a=-

1

4

，

∴抛物线的解析式为y=-

1

4

(x-2)(x-4)=-

1

4

x2+

3

2

x-2，
答：抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+

3

2

x-2．

（2）解：由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，
∵ED∥BA
可得：

ED

OB

=

CE

CO

，
即

ED

4

=

CE

2

，
∴ED=2CE=2t，
①

1

ED

+

1

OP

=

1

2t

+

1

4-2t

=

4

2t(4-2t)

=

1

-t2+2t

，
∵当t=1时，-t²+2t有最大值1，
∴当t=1时

1

ED

+

1

OP

的值最小，最小值为1．
答：当t为1时，

1

ED

+

1

OP

的值最小，最小值是1．

②解：由题意可求：CD=

5

t，CB=2

5

，
∴BD=2

5

-

5

t，
∵∠PBD=∠ABC，
∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：
当

BP

AB

=

BD

BC

时，即

2t

2

=

2 5 - 5 t

2 5

，
解得：t=

2

3

，
当

BP

BD

=

BC

BA

时，即

2t

2 5 - 5 t

=

2 5

2

，
解得：t=

10

7

，
当t=

2

3

或t=

10

7

时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．
答：存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似，t的值是

2

3

或

10

7

．
解：（1）如图，由抛物线y=ax²+bx-2得：C（0，-2），
∴OA=OC=2，
∴A（2，0），
∵△ABC的面积为2，
∴AB=2，
∴B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C（0，-2），
a=-

1

4

，

∴抛物线的解析式为y=-

1

4

(x-2)(x-4)=-

1

4

x2+

3

2

x-2，
答：抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+

3

2

x-2．

（2）解：由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，
∵ED∥BA
可得：

ED

OB

=

CE

CO

，
即

ED

4

=

CE

2

，
∴ED=2CE=2t，
①

1

ED

+

1

OP

=

1

2t

+

1

4-2t

=

4

2t(4-2t)

=

1

-t2+2t

，
∵当t=1时，-t²+2t有最大值1，
∴当t=1时

1

ED

+

1

OP

的值最小，最小值为1．
答：当t为1时，

1

ED

+

1

OP

的值最小，最小值是1．

②解：由题意可求：CD=

5

t，CB=2

5

，
∴BD=2

5

-

5

t，
∵∠PBD=∠ABC，
∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：
当

BP

AB

=

BD

BC

时，即

2t

2

=

2 5 - 5 t

2 5

，
解得：t=

2

3

，
当

BP

BD

=

BC

BA

时，即

2t

2 5 - 5 t

=

2 5

2

，
解得：t=

10

7

，
当t=

2

3

或t=

10

7

时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．
答：存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似，t的值是

2

3

或

10

7

．