试题

（2011·香坊区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点．是坐标原点，AB∥y轴，将△ABO沿A0翻折后，点B落在点D处，AD交y轴于点E，过点D作DC⊥X轴于点C．OB=5，OC=3．
（1）求点A的坐标：
（2）点P从A点出发，沿线段A0以

5

个单位/秒的速度向终点O匀速运动，同时点Q从A点出发，沿射线AD以3个单位，秒的速度匀速运动，当P到达终点时点Q也停止运动．设△PQD的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变．量t的取值范围）：
（3）在（2）的条件下，过点Q作射线AD的垂线交射线A0于点N，交x轴于点M，当t为何值时，MN=

5

4

PN．

解：（1）在Rt△ODC中，由勾股定理，得
DC=4．过点D作DH⊥AB于点H，则在Rt△ADH中，
AH²+DH²=AD²
∴（AD-4）²+8²=AD²，
∴AD=10，
∴A（-5，10）


（2）如图1，当点Q在线段AD上时，过点P作PF⊥AD于F．
∴QD=10-3t，AP=

5

t，由△APF∽△AOD，
∴

PF

5

=

5 t

5 5

，
∴PF=t，
∴S_△PQD=

1

2

QD·PF=-

3

2

t²+5t（0＜t＜

10

3

）．
当点Q在射线AD上时，过点P作PG⊥AD于G，
∴QD=3t-10，AP=

5

t，同上得：PG=t，
∴S_△PQD=

1

2

QD·PG=

3

2

t²-5t（

10

3

＜t≤5）．


（3）当点Q在线段AQ上时，过点O作OK⊥MN于K，
∴△MOK∽△ODC，
∵OK=QD=10-3t，QN=

3

2

t，
∴MK=

3

4

（10-3t），MQ=

3

4

（10-3t）+5MN=MQ-QN=-

25

4

t+

25

2

，
∵MN=

5

4

PN，
∴MN=

5

4

（AN-AP），
∴-

25

4

t+

25

2

=

5

4

（

3 5 t

2

-

5

t），
∴t=

20

7

当点Q在射线AD上时，过点O作OR⊥MN于R，
∴△MOR∽△ODC．
∵OR=QD=3t-10，QN=

3

2

t．
∴MR=

3

4

（3t-10），MQ=5-

3

4

（3t-10）=-

9

4

t+

25

2

，MN=QN-MQ=

15

4

t-

25

2

，
∵MN=

5

4

PN，
∴MN=

5

4

（AN-AP），
∴

15

4

t-

25

2

=

5

4

（

3 5 t

2

-

5

t），
∴t=4

解：（1）在Rt△ODC中，由勾股定理，得
DC=4．过点D作DH⊥AB于点H，则在Rt△ADH中，
AH²+DH²=AD²
∴（AD-4）²+8²=AD²，
∴AD=10，
∴A（-5，10）


（2）如图1，当点Q在线段AD上时，过点P作PF⊥AD于F．
∴QD=10-3t，AP=

5

t，由△APF∽△AOD，
∴

PF

5

=

5 t

5 5

，
∴PF=t，
∴S_△PQD=

1

2

QD·PF=-

3

2

t²+5t（0＜t＜

10

3

）．
当点Q在射线AD上时，过点P作PG⊥AD于G，
∴QD=3t-10，AP=

5

t，同上得：PG=t，
∴S_△PQD=

1

2

QD·PG=

3

2

t²-5t（

10

3

＜t≤5）．


（3）当点Q在线段AQ上时，过点O作OK⊥MN于K，
∴△MOK∽△ODC，
∵OK=QD=10-3t，QN=

3

2

t，
∴MK=

3

4

（10-3t），MQ=

3

4

（10-3t）+5MN=MQ-QN=-

25

4

t+

25

2

，
∵MN=

5

4

PN，
∴MN=

5

4

（AN-AP），
∴-

25

4

t+

25

2

=

5

4

（

3 5 t

2

-

5

t），
∴t=

20

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当点Q在射线AD上时，过点O作OR⊥MN于R，
∴△MOR∽△ODC．
∵OR=QD=3t-10，QN=

3

2

t．
∴MR=

3

4

（3t-10），MQ=5-

3

4

（3t-10）=-

9

4

t+

25

2

，MN=QN-MQ=

15

4

t-

25

2

，
∵MN=

5

4

PN，
∴MN=

5

4

（AN-AP），
∴

15

4

t-

25

2

=

5

4

（

3 5 t

2

-

5

t），
∴t=4