试题

（2011·海沧区质检）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．AB的垂直平分线DP交AC于点P，
（1）求证：△ABC∽△BPC；
（2）设m，n为一元二次方程x²+x-1=0的两根（m＞n）．若等腰三角形的底边与腰的比值等于m时，则称这个等腰三角形为“黄金三角形”．求证：△BPC是“黄金三角形”．

（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵AB的垂直平分线DP交AC于点P，
∴PA=PB，
∴∠PBA=∠A=36°，
∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=72°-36°=36°，
∴∠PBC=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BPC；

（2）解：∵m，n为一元二次方程x²+x-1=0的两根（m＞n），
解方程可得：m=

5 -1

2

，n=

-1- 5

2

．
∵△ABC∽△BPC，
∴

AC

BC

=

BC

PC

，PB=BC，
设PC=x，则AC=AP+PC=BP+PC=BC+PC=BC+x，
∴

BC+x

BC

=

BC

x

，
∴BC=

5 +1

2

x，
∴AC=

5 +3

2

x，
∴

BC

AC

=

5 -1

2

=m．
∴△BPC是“黄金三角形”．
（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵AB的垂直平分线DP交AC于点P，
∴PA=PB，
∴∠PBA=∠A=36°，
∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=72°-36°=36°，
∴∠PBC=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BPC；

（2）解：∵m，n为一元二次方程x²+x-1=0的两根（m＞n），
解方程可得：m=

5 -1

2

，n=

-1- 5

2

．
∵△ABC∽△BPC，
∴

AC

BC

=

BC

PC

，PB=BC，
设PC=x，则AC=AP+PC=BP+PC=BC+PC=BC+x，
∴

BC+x

BC

=

BC

x

，
∴BC=

5 +1

2

x，
∴AC=

5 +3

2

x，
∴

BC

AC

=

5 -1

2

=m．
∴△BPC是“黄金三角形”．