试题

（2011·虹口区二模）如图，⊙P与⊙Q外切于点N，经过点N的直线AB交⊙P于A，交⊙Q于B，以经过⊙P的直径AC所在直线为y轴，经过点B的直线为x轴，建立直角坐标系．
（1）求证：OB是⊙Q的切线；
（2）如果OC=CP=PA=2，⊙Q在始终保持与⊙P外切、与x轴相切的情况下运动，设点Q的坐标为（x，y），试求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，设M是所求函数图象上的任意一点，过点M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，连接PE、PM．问是否存在△PEO与△PMF相似？若存在，求出ME的长；若不存在，请说明理由．

（1）证明：连接PQ、QB，则PQ过点N，
∵PA=PN，QN=QB，
∴∠PAN=∠PNA=∠QNB=∠QBN，
∴QB∥AO．
又A0⊥OB，
∴QB⊥OB．
又QB是半径，
∴OB是⊙Q的切线．

（2）解：作QD⊥y轴，垂足为D．
则PD=|4-y|，QD=|x|，PQ=|2+y|，
在Rt△PDQ中，PD²+DQ²=PQ²，
∴|4-y|²+|x|²=|2+y|²，
∴y=

1

12

x2+1；

（3）解：设点M的坐标为（a、b），则a≠O，b＞1．
PF=|b-4|，FM=OE=|a|．
∵∠POE=∠PFM=90°，
∴要使△PE0与△PMF相似，只要

PF

FM

=

PO

OE

或

PF

FM

=

OE

PO

即可．
由

PF

FM

=

PO

OE

得：

|b-4|

|a|

=

4

|a|

，
∴|b-4|=4，即b-4=±4，
∴b₁=8，b₂=O（不合题意，舍去），即ME=8．
由

PF

FM

=

OE

PO

，得：

|b-4|

|a|

=

|a|

4

，
∴a²=4|b-4|，
又b=

1

12

a2+1，a²=12b-12，
∴12b-12=4|b-4|．
即3b-3=|b-4|，
∴b1=

-1

2

（不合题意，舍去），b2=

7

4

，
∴ME=

7

4

．
所以，存在△PEO与△PMF相似，这时ME的长为8或

7

4

．
（1）证明：连接PQ、QB，则PQ过点N，
∵PA=PN，QN=QB，
∴∠PAN=∠PNA=∠QNB=∠QBN，
∴QB∥AO．
又A0⊥OB，
∴QB⊥OB．
又QB是半径，
∴OB是⊙Q的切线．

（2）解：作QD⊥y轴，垂足为D．
则PD=|4-y|，QD=|x|，PQ=|2+y|，
在Rt△PDQ中，PD²+DQ²=PQ²，
∴|4-y|²+|x|²=|2+y|²，
∴y=

1

12

x2+1；

（3）解：设点M的坐标为（a、b），则a≠O，b＞1．
PF=|b-4|，FM=OE=|a|．
∵∠POE=∠PFM=90°，
∴要使△PE0与△PMF相似，只要

PF

FM

=

PO

OE

或

PF

FM

=

OE

PO

即可．
由

PF

FM

=

PO

OE

得：

|b-4|

|a|

=

4

|a|

，
∴|b-4|=4，即b-4=±4，
∴b₁=8，b₂=O（不合题意，舍去），即ME=8．
由

PF

FM

=

OE

PO

，得：

|b-4|

|a|

=

|a|

4

，
∴a²=4|b-4|，
又b=

1

12

a2+1，a²=12b-12，
∴12b-12=4|b-4|．
即3b-3=|b-4|，
∴b1=

-1

2

（不合题意，舍去），b2=

7

4

，
∴ME=

7

4

．
所以，存在△PEO与△PMF相似，这时ME的长为8或

7

4

．