试题

（2011·济南模拟）已知：如图，点P是边长为4的正方形ABCD的边AD上一点并且不与点A、D重合，MN是线段BP的垂直平分线，与AB、BP、CD分别交于点M、O、N，设AP=x．
（1）求BM（结果用含有x的代数式表示）；
（2）请你判断四边形MNCB的面积是否有最小值？若有最小值，求出使其面积取得最小值时的x的值并求出面积的最小值；若没有最小值，说明你的理由．

解：（1）∵四边形ABCD是边长为4的正方形，MN是PB的垂直平分线，
∴∠A=90°，∠MOB=90°，OB=

1

2

BP，
∴BP=

42+x2

=

16+x2

，OB=

1

2

16+x2

，
又∵∠ABP是公共角，∠A=∠MOB，
∴Rt△BOM∽Rt△BAP．
∴

OB

AB

=

MB

PB

，
即MB·AB=OB·PB，
∴4MB=

1

2

16+x2

·

16+x2

=

1

2

x2+8，
∴BM=

1

8

x2+2．

（2）四边形MNCB的面积有最小值．
作NE⊥AB于E，
则∠MEN=∠BEN=90°=∠A，NE=BC=BA=4，
由（1）知Rt△BOM∽Rt△BAP，
∴∠NME=∠APB，
∴Rt△MNE≌Rt△PBA，
∴ME=PA=x，
∴CN=BE=MB-ME=

1

8

x²-x+2，
∴S_{四边形MNCB}=

1

2

（CN+MB）·NE=

1

2

[（

1

8

x²-x+2）+（

1

8

x²+2）]·4=

1

2

（x-2）²+6，
∴当x=2时，四边形MNCB的面积有最小值6．
解：（1）∵四边形ABCD是边长为4的正方形，MN是PB的垂直平分线，
∴∠A=90°，∠MOB=90°，OB=

1

2

BP，
∴BP=

42+x2

=

16+x2

，OB=

1

2

16+x2

，
又∵∠ABP是公共角，∠A=∠MOB，
∴Rt△BOM∽Rt△BAP．
∴

OB

AB

=

MB

PB

，
即MB·AB=OB·PB，
∴4MB=

1

2

16+x2

·

16+x2

=

1

2

x2+8，
∴BM=

1

8

x2+2．

（2）四边形MNCB的面积有最小值．
作NE⊥AB于E，
则∠MEN=∠BEN=90°=∠A，NE=BC=BA=4，
由（1）知Rt△BOM∽Rt△BAP，
∴∠NME=∠APB，
∴Rt△MNE≌Rt△PBA，
∴ME=PA=x，
∴CN=BE=MB-ME=

1

8

x²-x+2，
∴S_{四边形MNCB}=

1

2

（CN+MB）·NE=

1

2

[（

1

8

x²-x+2）+（

1

8

x²+2）]·4=

1

2

（x-2）²+6，
∴当x=2时，四边形MNCB的面积有最小值6．