试题

题目：
青果学院（2010·珠海）在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3
3
，AE=3，求AF的长．
答案
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵CD=AB=4，AE⊥BC，
∴AE⊥AD；
在Rt△ADE中，DE=
AD2+AE2
=
(3
3
)2+32
=6，
∵△ADF∽△DEC，
∴
AD
DE
=
AF
CD
；
∴
3
3
6
=
AF
4
，AF=2
3
．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵CD=AB=4，AE⊥BC，
∴AE⊥AD；
在Rt△ADE中，DE=
AD2+AE2
=
(3
3
)2+32
=6，
∵△ADF∽△DEC，
∴
AD
DE
=
AF
CD
；
∴
3
3
6
=
AF
4
，AF=2
3
．
考点梳理
勾股定理；平行线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得BE的长，即可求出EC的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出AF的长．
此题主要考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质．
几何综合题；压轴题．
找相似题