试题

（2011·长春）如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD丄BC交AB于D，作DE丄AC于E，F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC．设点P的运动时间为x（秒）．
（1）用含有x的代数式表示CE的长．
（2）求点F与点B重合时x的值．
（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．
（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的x值．

解：（1）∵PD⊥BC，DE⊥AC，且∠C=90°，
∴四边形DECP为矩形，
∴DE=PC，DP=EC，
又∵∠CEF=∠ABC，
∴△ABC∽△DBP∽△FEC，
∴

FC

EC

=

DP

BP

=

AC

BC

，
∵CA=30，CB=20，BP=4x，
∴

FC

EC

=

DP

4x

=

30

20

，
∴FC=9x，DP=EC=6x．

（2）当点F与点B重合时，FC=BC，
∴FC=BC，
∴9x=20，
解得：x=

20

9

，

（3）当点F与点P重合时，4x+9x=20，
解得x=

20

13

，
∵FP=BC-FC-PB=20-9x-4x=20-13x，
∵DE=PC=BC-PB=20-4x，
∴S=（DE+FP）·DP·0.5=（20-4x+20-13x）·6x×0.5=3x（40-17x）=120x-51x²；
当

20

13

＜x≤

20

9

时，
矩形DECP中DP∥EC，
∴∠DOE=∠FEC，
∴Rt△DOE∽Rt△CEF，
∴

DO

DE

=

CE

CF

，
∴

DO

20-4x

=

6x

9x

，
∴DO=

2

3

（20-4x），
∴S=

1

2

DO·DE=

1

2

×

2

3

（20-4x）（20-4x）=

16

3

（5-x）²；

（4）①如图③，当PD=PF时，6x=20-13x，解得：x=

20

19

；△B′DE为拼成的三角形；
②如图④当点F与点P重合时，4x+9x=20，解得：x=

20

13

；△BDC为拼成的三角形；
③如图⑤，当DE=PB，20-4x=4x，解得：x=

5

2

，△DPF为拼成的三角形．
解：（1）∵PD⊥BC，DE⊥AC，且∠C=90°，
∴四边形DECP为矩形，
∴DE=PC，DP=EC，
又∵∠CEF=∠ABC，
∴△ABC∽△DBP∽△FEC，
∴

FC

EC

=

DP

BP

=

AC

BC

，
∵CA=30，CB=20，BP=4x，
∴

FC

EC

=

DP

4x

=

30

20

，
∴FC=9x，DP=EC=6x．

（2）当点F与点B重合时，FC=BC，
∴FC=BC，
∴9x=20，
解得：x=

20

9

，

（3）当点F与点P重合时，4x+9x=20，
解得x=

20

13

，
∵FP=BC-FC-PB=20-9x-4x=20-13x，
∵DE=PC=BC-PB=20-4x，
∴S=（DE+FP）·DP·0.5=（20-4x+20-13x）·6x×0.5=3x（40-17x）=120x-51x²；
当

20

13

＜x≤

20

9

时，
矩形DECP中DP∥EC，
∴∠DOE=∠FEC，
∴Rt△DOE∽Rt△CEF，
∴

DO

DE

=

CE

CF

，
∴

DO

20-4x

=

6x

9x

，
∴DO=

2

3

（20-4x），
∴S=

1

2

DO·DE=

1

2

×

2

3

（20-4x）（20-4x）=

16

3

（5-x）²；

（4）①如图③，当PD=PF时，6x=20-13x，解得：x=

20

19

；△B′DE为拼成的三角形；
②如图④当点F与点P重合时，4x+9x=20，解得：x=

20

13

；△BDC为拼成的三角形；
③如图⑤，当DE=PB，20-4x=4x，解得：x=

5

2

，△DPF为拼成的三角形．