试题

（2011·甘孜州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的圆分别交AB和BC于E、D两点，AD与EC交于G点．过点D作DF⊥AB交AB于F，交AC的延长线于H．
（1）求证：FH为⊙O的切线；
（2）若AC=6，BC=4，求DG．

解：（1）连接OD，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OC，
∴OD∥AB，
∵HF⊥AF，
∴OD⊥FH，
∴FH为⊙O切线；

（2）∵AC=6，BC=4，
∴CD=

1

2

BC=2，
∵∠ADC=90°，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

ED

=

CD

，
∴∠GCD=∠CAD，
∴△CGD∽△ACD，
∴

GD

CD

=

CD

AD

，
∴CD²=GD·AD，
在Rt△ADC中，AD=

AC2-CD2

=

32

=4

2

，
∴4=GD·4

2

，
∴GD=

2

2

．
解：（1）连接OD，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OC，
∴OD∥AB，
∵HF⊥AF，
∴OD⊥FH，
∴FH为⊙O切线；

（2）∵AC=6，BC=4，
∴CD=

1

2

BC=2，
∵∠ADC=90°，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

ED

=

CD

，
∴∠GCD=∠CAD，
∴△CGD∽△ACD，
∴

GD

CD

=

CD

AD

，
∴CD²=GD·AD，
在Rt△ADC中，AD=

AC2-CD2

=

32

=4

2

，
∴4=GD·4

2

，
∴GD=

2

2

．