试题

（2011·贵港）如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO．
（1）求证：△AOB∽△BDC；
（2）设大圆的半径为x，CD的长为y：
①求y与x之间的函数关系式；
②当BE与小圆相切时，求x的值．

（1）证明：
∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相切于点C，
∴∠OAB=∠OCD=90°，
∵BC⊥AB，
∴∠CBA=∠CBD=90°，（1分）
∵∠1+∠OBC=90°，∠2+∠OCB=90°，
又∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠1=∠2，（2分）
∴△AOB∽△BDC；（3分）

（2）解：①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形（4分）
∴BF=OA=1，
由垂径定理，得BC=2BF=2，（5分）
在Rt△AOB中，OA=1，OB=x
∴AB=

OB2-OA2

=

x2-1

，（6分）
由（1）得△AOB∽△BDC
∴

OB

CD

=

AB

BC

，即

x

y

=

x2-1

2

，
∴y=

2x

x2-1

=

2x x2-1

x2-1

；（7分）
②当BE与小圆相切时，OE⊥BE，
∵OE=1，OC=x，
∴EC=x-1，BE=AB=

x2-1

，（8分）
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：EC²+BE²=BC²，
即（x-1）²+（

x2-1

）²=2²，（9分）
解得：x₁=2，x₂=-1（舍去），（10分）
∴当BE与小圆相切时，x=2．（11分）
（1）证明：
∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相切于点C，
∴∠OAB=∠OCD=90°，
∵BC⊥AB，
∴∠CBA=∠CBD=90°，（1分）
∵∠1+∠OBC=90°，∠2+∠OCB=90°，
又∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠1=∠2，（2分）
∴△AOB∽△BDC；（3分）

（2）解：①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形（4分）
∴BF=OA=1，
由垂径定理，得BC=2BF=2，（5分）
在Rt△AOB中，OA=1，OB=x
∴AB=

OB2-OA2

=

x2-1

，（6分）
由（1）得△AOB∽△BDC
∴

OB

CD

=

AB

BC

，即

x

y

=

x2-1

2

，
∴y=

2x

x2-1

=

2x x2-1

x2-1

；（7分）
②当BE与小圆相切时，OE⊥BE，
∵OE=1，OC=x，
∴EC=x-1，BE=AB=

x2-1

，（8分）
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：EC²+BE²=BC²，
即（x-1）²+（

x2-1

）²=2²，（9分）
解得：x₁=2，x₂=-1（舍去），（10分）
∴当BE与小圆相切时，x=2．（11分）