试题

题目：
（2011·杭州）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是青果学院线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1，h2，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形．
（1）求蝶形面积S的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h1的取值范围．
答案
青果学院解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形．
∵EF∥BD，
∴△ABD∽△AEF，
∴
EF
6
=
5-h1
5
，即EF=
6
5
(5-h1)
∴S=2S△OEF=EF×h1=
6
5
(5-h1)×h1=-
6
5
(h1-
5
2
)2+
15
2

所以当h1=
5
2
时，Smax=
15
2
．

（2）根据题意，得OE=OM．
如图，作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，
①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM．
∵AB=
52+32
=
34
，
∴OR=
15
34
，
∴BR=
32-(
15
34
)2
=
9
34

由ML∥EK∥OB，
得
OK
OA
=
BE
AB
，
OL
OA
=
BM
AB
∴
OK
OA
+
OL
OA
=
BE
AB
+
BM
AB
=
2BR
AB
，
即
h1
5
+
h2
5
=
9
17

∴h1+h2=
45
17
，此时h1的取值范围为0＜h1＜
45
17
且h1≠
45
34
，
②当点E，M重合时，则h1=h2，此时h1的取值范围为0＜h1＜5．
青果学院解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形．
∵EF∥BD，
∴△ABD∽△AEF，
∴
EF
6
=
5-h1
5
，即EF=
6
5
(5-h1)
∴S=2S△OEF=EF×h1=
6
5
(5-h1)×h1=-
6
5
(h1-
5
2
)2+
15
2

所以当h1=
5
2
时，Smax=
15
2
．

（2）根据题意，得OE=OM．
如图，作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，
①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM．
∵AB=
52+32
=
34
，
∴OR=
15
34
，
∴BR=
32-(
15
34
)2
=
9
34

由ML∥EK∥OB，
得
OK
OA
=
BE
AB
，
OL
OA
=
BM
AB
∴
OK
OA
+
OL
OA
=
BE
AB
+
BM
AB
=
2BR
AB
，
即
h1
5
+
h2
5
=
9
17

∴h1+h2=
45
17
，此时h1的取值范围为0＜h1＜
45
17
且h1≠
45
34
，
②当点E，M重合时，则h1=h2，此时h1的取值范围为0＜h1＜5．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的性质；中心对称；平行线分线段成比例．
（1）由题意，得四边形ABCD是菱形，根据EF∥BD，求证△ABD∽△AEF，然后利用其对边成比例求得EF，然后利用三角形面积公式即可求得蝶形面积S的最大值．
（2）根据题意，得OE=OM．作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，可知RE=RM．利用勾股定理求得BR，由ML∥EK∥OB，利用平行线分线段求得
h1
5
+
h2
5
=
9
17
即可知h1的取值范围；②当点E，M重合时，则h1=h2，此时可知h1的取值范围．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，轴对称的性质，中心对称，平行线分线段成比例等知识点，综合性强，有一定的拔高难度，属于难题．
计算题；几何图形问题；压轴题．
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