试题

（2011·怀化）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象与AC边交于点E．
（1）求证：AE·AO=BF·BO；
（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长；若不存在，请说明理由．

（1）证明：∵E，F点都在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数的性质得出，xy=k，
∴AE·AO=BF·BO；

（2）解：∵点E的坐标为（2，4），
∴AE·AO=BF·BO=8，
∵BO=6，∴BF=

4

3

，
∴F（6，

4

3

），
分别代入二次函数解析式得：

c=0 4a+2b+c=4 36a+6b+c= 4 3

，
把c=0代入

c=0 4a+2b+c=4① 36a+6b+c= 4 3 ②

得：

2a+b=2 18a+3b= 2 3

，

解得：

a= - 4 9 b= 26 9

，
可得原方程组的解为：

a=- 4 9 b= 26 9 c=0

，
∴y=-

4

9

x²+

26

9

x；

（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的C'点，
过点E作EG⊥OB，垂足为G．
由题意得：EG=AO=4，
把y=4代入y=

k

x

得：x=

1

4

k，把x=6代入y=

k

x

得：y=

1

6

k，
∴EC'=EC=6-

1

4

k，C′F=CF=4-

1

6

k，
∵∠EC'G+∠FC'B=∠FC'B+∠C'FB=90°，
∴∠EC'G=∠C'FB．
又∵∠EGC'=∠C'BF=90°，
∴△EC'G∽△C'FB．
∴EG：C'B=EC'：C'F，
∴4：C'B=（6-

1

4

k）：（4-

1

6

k）=[3（2-

1

12

k）]：[2（2-

1

12

k）]，
∴C'B=

8

3

，
∵C'B²+BF²=C'F²，
∴（

8

3

^）2+（

1

6

k）²=（4-

1

6

k）²，
解得k=

20

3

，
∴BF=

k

6

=

10

9

，
∴存在符合条件的点F，它的坐标为（6，

10

9

）．
∴FO=

3016

9

=

2 754

9

．
（1）证明：∵E，F点都在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数的性质得出，xy=k，
∴AE·AO=BF·BO；

（2）解：∵点E的坐标为（2，4），
∴AE·AO=BF·BO=8，
∵BO=6，∴BF=

4

3

，
∴F（6，

4

3

），
分别代入二次函数解析式得：

c=0 4a+2b+c=4 36a+6b+c= 4 3

，
把c=0代入

c=0 4a+2b+c=4① 36a+6b+c= 4 3 ②

得：

2a+b=2 18a+3b= 2 3

，

解得：

a= - 4 9 b= 26 9

，
可得原方程组的解为：

a=- 4 9 b= 26 9 c=0

，
∴y=-

4

9

x²+

26

9

x；

（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的C'点，
过点E作EG⊥OB，垂足为G．
由题意得：EG=AO=4，
把y=4代入y=

k

x

得：x=

1

4

k，把x=6代入y=

k

x

得：y=

1

6

k，
∴EC'=EC=6-

1

4

k，C′F=CF=4-

1

6

k，
∵∠EC'G+∠FC'B=∠FC'B+∠C'FB=90°，
∴∠EC'G=∠C'FB．
又∵∠EGC'=∠C'BF=90°，
∴△EC'G∽△C'FB．
∴EG：C'B=EC'：C'F，
∴4：C'B=（6-

1

4

k）：（4-

1

6

k）=[3（2-

1

12

k）]：[2（2-

1

12

k）]，
∴C'B=

8

3

，
∵C'B²+BF²=C'F²，
∴（

8

3

^）2+（

1

6

k）²=（4-

1

6

k）²，
解得k=

20

3

，
∴BF=

k

6

=

10

9

，
∴存在符合条件的点F，它的坐标为（6，

10

9

）．
∴FO=

3016

9

=

2 754

9

．