试题

（2011·江西）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：
如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：．（填“能“或“不能”）
（2）设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．
①θ=度；
②若记小棒A_2n-1A_2n的长度为a_n（n为正整数，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…），求出此时a₂，a₃的值，并直接写出a_n（用含n的式子表示）．

活动二：
如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第1根小棒，且A₁A₂=AA₁．
数学思考：
（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ₁=，θ₂=，θ₃=（用含θ的式子表示）；
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．

解：（1）∵根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为：能；

（2）①∵A₁A₂=A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴∠A₂A₁A₃=45°，
∴∠AA₂A₁+∠θ=45°，
∵∠AA₂A₁=∠θ，
∴∠θ=22.5°；

②∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃
∴A₁A₃=

2

，AA₃=1+

2

又∵A₂A₃⊥A₃A₄
A₁A₂∥A₃A₄
同理；A₃A₄∥A₅A₆
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=1+

2

a₃=AA₃+A₃A₅=a₂+A₃A₅
∵A₃A₅=

2

a₂，
∴a₃=A₅A₆=AA₅=a₂+

2

a₂=(

2

+1)2
∴a_n=(

2

+1)n-1；

（3）∵A₁A₂=AA₁
∴∠A₁AA₂=∠AA₂A₁=θ
∴∠A₂A₁A₃=θ₁=θ+θ
∴θ₁=2θ
同理可得：θ₂=3θ
θ₃=4θ；

（4）如图：

∵A₄A₃=A₄A₅，
∴∠A₄A₃A₅=∠A₄A₅A₃=4θ°，
∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，
当∠A₅A₄B是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了，
∴当∠A₄A₃A₅是锐角，∠A₅A₄B=5θ是钝角或直角时，只能摆放4根小棒，
∴5θ≥90°，4θ＜90°，
即

5θ≥90° 4θ＜90°

，
∴18°≤θ＜22.5°．
故答案为：能，22.5°，2θ，3θ，4θ．