试题

（2011·锦州）如图（1）～（3），已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB=α（0°＜α＜180°），∠CPD=β．
（1）如图（1），当α=β=90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）；
（2）如图（2），当α=60°，β=120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
（3）如图（3），当α+β=180°时，
①你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
②若

PD

PG

=2，求

PD

PO

的值．

解：（1）PC=PD，∠PDC=

1

2

∠AOB．

（2）成立．理由如下：
作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如图．
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF．
在四边形EOFP中，
∵∠AOB=60°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF=120°，即∠EPC+∠CPF=120°．
又∠CPD=120°，即∠DPF+∠CPF=120°．
∴∠EPC=∠DPF．
∴△EPC≌△FPD．
∴PC=PD，
∴∠PDC=

180°-∠CPD

2

=30°．
∵∠AOB=60°，
∴∠PDC=

1

2

∠AOB，

（3）①成立，
②∵∠PDC=

1

2

∠AOB，
∠POD=

1

2

∠AOB，
∴∠PDC=∠POD．
又∠DPG=∠DPO，
∴△PGD∽△PDO．
∴

PD

PG

=

PO

PD

．
又　

PD

PG

=2，
∴

PD

PO

=

1

2

．
解：（1）PC=PD，∠PDC=

1

2

∠AOB．

（2）成立．理由如下：
作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如图．
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF．
在四边形EOFP中，
∵∠AOB=60°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF=120°，即∠EPC+∠CPF=120°．
又∠CPD=120°，即∠DPF+∠CPF=120°．
∴∠EPC=∠DPF．
∴△EPC≌△FPD．
∴PC=PD，
∴∠PDC=

180°-∠CPD

2

=30°．
∵∠AOB=60°，
∴∠PDC=

1

2

∠AOB，

（3）①成立，
②∵∠PDC=

1

2

∠AOB，
∠POD=

1

2

∠AOB，
∴∠PDC=∠POD．
又∠DPG=∠DPO，
∴△PGD∽△PDO．
∴

PD

PG

=

PO

PD

．
又　

PD

PG

=2，
∴

PD

PO

=

1

2

．