试题

（2011·乐山）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．
题甲：已知关于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0的两根为x₁、x₂，且满足x₁x₂-3x₁-3x₂-2=0．求(1+

4

a2-4

)·

a+2

a

的值．
题乙：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求△AOB的面积．
我选做的是题．

解：题甲：关于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0的两根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-2（a-1）=2-2a，x₁x₂=a²-7a-4，
∴x₁x₂-3x₁-3x₂-2=x₁x₂-3（x₁+x₂）-2=a²-7a-4-3（2-2a）-2=a²-a-12=0，
解得：a=-3或a=4，
当a=-3时，原方程化为x²-8x+26=0，
∵△=-40＜0，此时原方程无解，
∴a=-3不合题意，应舍去．
当a=4时，原方程化为x²+6x-16=0，
∵△=100＞0，此时原方程有两个实数根，
∴a=4符合题意
又∵(1+

4

a2-4

)·

a+2

a

=

a2

(a+2)(a-2)

·

a+2

a

=

a

a-2

，
当a=4时，原式=

4

4-2

=2．
故(1+

4

a2-4

)·

a+2

a

的值为2．

题乙：（1）过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，
∵AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC，DE∥BD，CE=AD，
∵AD=2，BC=BD=3，AC=4，
∴BE=BC+CE=5，DE=AC=4，BD=3，
∴BD²+DE²=BE²，
∴∠BDE=90°，
∴BD⊥DE，
∴BD⊥AC；

（2）过点D作DF⊥BC于F，
∵S_△DBE=

1

2

BE·DF=

1

2

BD·DE，
∴DF=

BD·DE

BE

=

3×4

5

=

12

5

，
∴S_△ABC=

1

2

BC·DF=

1

2

×3×

12

5

=

18

5

，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴

OA

OC

=

AD

BC

=

2

3

，
∴OA：AC=2：5，
∴S_△AOB：S_△ABC=2：5，
∴S_△AOB=

2

5

S_△ABC=

2

5

×

18

5

=

36

25

．