试题

（2011·黔南州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，

3

），△AOB的面积是

3

．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得

1

2

OB·

3

=

3

，
∴B（-2，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1，

3

），得a=

3

3

，
∴y=

3

3

x²+

2 3

3

x，

（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线
的对称轴x=-1交x轴于点E、当点C位于对称轴
与线段AB的交点时，△AOC的周长最小，
∵△BCE∽△BAF，
∴

BE

BF

=

CE

AF

，
∴CE=

BE·AF

BF

=

3

3

，
∴C（-1，

3

3

）．

（4）存在．如图，设P（x，y），直线AB为y=kx+b，
则

k+b= 3 -2k+b=0

，
解得

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴直线AB为y=

3

3

x+

2 3

3

，
S_四BPOD=S_△BPO+S_△BOD=

1

2

|OB||Y_P|+

1

2

|OB||Y_D|=|Y_P|+|Y_D|
=

3

3

x+

2 3

3

-（

3

3

x²+

2 3

3

x），
=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

3

x+

2 3

3

，
=-

3

3

x²-

3

3

x+

2 3

3

，
∵S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=

3

-

1

2

×2×|

3

3

x+

2 3

3

|=-

3

3

x+

3

3

，
∴

S△AOD

S四BPOD

=

- 3 3 x+ 3 3

- 3 3 x2- 3 3 x+ 2 3 3

=

2

3

，
∴x₁=-

1

2

，x₂=1（舍去），
∴P（-

1

2

，-

3

4

），
又∵S_△BOD=

3

3

x+

2 3

3

，
∴

S△BOD

S四BPOD

=

3 3 x+ 2 3 3

- 3 3 x2- 3 3 x+ 2 3 3

=

2

3

，
∴x₁=-

1

2

，x₂=-2．
P（-2，0），不符合题意．
∴存在，点P坐标是（-

1

2

，-

3

4

）．
解：（1）由题意得

1

2

OB·

3

=

3

，
∴B（-2，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1，

3

），得a=

3

3

，
∴y=

3

3

x²+

2 3

3

x，

（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线
的对称轴x=-1交x轴于点E、当点C位于对称轴
与线段AB的交点时，△AOC的周长最小，
∵△BCE∽△BAF，
∴

BE

BF

=

CE

AF

，
∴CE=

BE·AF

BF

=

3

3

，
∴C（-1，

3

3

）．

（4）存在．如图，设P（x，y），直线AB为y=kx+b，
则

k+b= 3 -2k+b=0

，
解得

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴直线AB为y=

3

3

x+

2 3

3

，
S_四BPOD=S_△BPO+S_△BOD=

1

2

|OB||Y_P|+

1

2

|OB||Y_D|=|Y_P|+|Y_D|
=

3

3

x+

2 3

3

-（

3

3

x²+

2 3

3

x），
=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

3

x+

2 3

3

，
=-

3

3

x²-

3

3

x+

2 3

3

，
∵S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=

3

-

1

2

×2×|

3

3

x+

2 3

3

|=-

3

3

x+

3

3

，
∴

S△AOD

S四BPOD

=

- 3 3 x+ 3 3

- 3 3 x2- 3 3 x+ 2 3 3

=

2

3

，
∴x₁=-

1

2

，x₂=1（舍去），
∴P（-

1

2

，-

3

4

），
又∵S_△BOD=

3

3

x+

2 3

3

，
∴

S△BOD

S四BPOD

=

3 3 x+ 2 3 3

- 3 3 x2- 3 3 x+ 2 3 3

=

2

3

，
∴x₁=-

1

2

，x₂=-2．
P（-2，0），不符合题意．
∴存在，点P坐标是（-

1

2

，-

3

4

）．