试题

（2011·泉州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点 B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点，其中b是大于零的常数．
（1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论；
（2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式；
（3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，说明理由．

解：（1）四边形DEFB是平行四边形．
证明：∵D、E分别是OB、OA的中点，
∴DE∥AB，同理，EF∥OB，
∴四边形DEFB是平行四边形；

（2）解法一：∵S_△AOB=

1

2

×8×b=4b，
由（1）得EF∥OB，∴△AEF∽△AOB，
∴

S△AEF

S△AOB

=（

1

2

）²，即S_△AEF=

1

4

S_△AOB=b，同理S_△ODE=b，
∴S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE=4b-b-b=2b，即S=2b（b＞0）；
解法二：如图，连接BE，S_△AOB=

1

2

×8×b=4b，
∵E、F分别为OA、AB的中点，
∴S_△AEF=

1

2

S_△AEB=

1

4

S_△AOB=b，
同理S_△EOD=b，
∴S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE=4b-b-b=2b，
即S=2b（b＞0）；

（3）解法一：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E，
①当直线x=b与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形，
此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，
∴

OB

BC

=

OA

BO

，即OB²=OA·BC=8t，
在Rt△OBC中，OB²=BC²+OC²=t²+b²，
∴t²+b²=8t，
∴t²-8t+b²=0，
解得t=4±

16-b2

，
②当直线x=b与⊙E相离时，∠ABO≠90°，
∴四边形DEFB不是矩形，
综上所述：当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，t=4±

16-b2

，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形；
解法二：由（1）知，当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形，
∵∠COB+∠AOB=90°，∠OAB+∠AOB=90°，
∴∠COB=∠OAB，
又∵∠ABO=∠OCB=90°，
∴Rt△OCB∽Rt△ABO，
∴

BC

OB

=

OB

AO

，即OB²=OA·BC，
又OB²=BC²+OC²=t²+b²，OA=8，BC=t（t＞0），
∴t²+b²=8t，
∴（t-4）²=16-b²，
①当16-b²≥0时，解得t=4±

16-b2

，此时四边形DEFB是矩形，
②当16-b²＜0时，t无实数解，此时四边形DEFB不是矩形，
综上所述：当16-b²≥0时，四边形DEFB是矩形，此时t=4±

16-b2

，当16-b²＜0时，四边形DEFB不是矩形；
解法三：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
在Rt△AMB中，AB²=AM²+BM²=b²+（8-t）²，
在Rt△OCB中，OB²=OC²+BC²=b²+t²，
在△OAB中，当AB²+OB²=OA²时，∠ABO=90°，则四边形DEFB为矩形，
∴b²+（8-t）²+b²+t²=8²，
化简得t²-8t=-b²，配方得（t-4）²=16-b²，其余同解法二．
解：（1）四边形DEFB是平行四边形．
证明：∵D、E分别是OB、OA的中点，
∴DE∥AB，同理，EF∥OB，
∴四边形DEFB是平行四边形；

（2）解法一：∵S_△AOB=

1

2

×8×b=4b，
由（1）得EF∥OB，∴△AEF∽△AOB，
∴

S△AEF

S△AOB

=（

1

2

）²，即S_△AEF=

1

4

S_△AOB=b，同理S_△ODE=b，
∴S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE=4b-b-b=2b，即S=2b（b＞0）；
解法二：如图，连接BE，S_△AOB=

1

2

×8×b=4b，
∵E、F分别为OA、AB的中点，
∴S_△AEF=

1

2

S_△AEB=

1

4

S_△AOB=b，
同理S_△EOD=b，
∴S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE=4b-b-b=2b，
即S=2b（b＞0）；

（3）解法一：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E，
①当直线x=b与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形，
此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，
∴

OB

BC

=

OA

BO

，即OB²=OA·BC=8t，
在Rt△OBC中，OB²=BC²+OC²=t²+b²，
∴t²+b²=8t，
∴t²-8t+b²=0，
解得t=4±

16-b2

，
②当直线x=b与⊙E相离时，∠ABO≠90°，
∴四边形DEFB不是矩形，
综上所述：当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，t=4±

16-b2

，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形；
解法二：由（1）知，当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形，
∵∠COB+∠AOB=90°，∠OAB+∠AOB=90°，
∴∠COB=∠OAB，
又∵∠ABO=∠OCB=90°，
∴Rt△OCB∽Rt△ABO，
∴

BC

OB

=

OB

AO

，即OB²=OA·BC，
又OB²=BC²+OC²=t²+b²，OA=8，BC=t（t＞0），
∴t²+b²=8t，
∴（t-4）²=16-b²，
①当16-b²≥0时，解得t=4±

16-b2

，此时四边形DEFB是矩形，
②当16-b²＜0时，t无实数解，此时四边形DEFB不是矩形，
综上所述：当16-b²≥0时，四边形DEFB是矩形，此时t=4±

16-b2

，当16-b²＜0时，四边形DEFB不是矩形；
解法三：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
在Rt△AMB中，AB²=AM²+BM²=b²+（8-t）²，
在Rt△OCB中，OB²=OC²+BC²=b²+t²，
在△OAB中，当AB²+OB²=OA²时，∠ABO=90°，则四边形DEFB为矩形，
∴b²+（8-t）²+b²+t²=8²，
化简得t²-8t=-b²，配方得（t-4）²=16-b²，其余同解法二．