试题

题目：
青果学院（2010·普陀区一模）如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE于D，
求证：CE2=PE·DE．
答案
青果学院证明：
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCE，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE；（1分）
∴
CE
BE
=
AE
CE
；（1分）
∴CE2=AE·BE；（1分）
又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°，（1分）
∵∠1=∠2，
∴∠P=∠3（1分）
∴△AEP∽△DEB （1分）
∴
PE
BE
=
AE
DE
（1分）
∴PE·DE=AE·BE（1分）
∴CE2=PE·DE．（1分）
青果学院证明：
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCE，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE；（1分）
∴
CE
BE
=
AE
CE
；（1分）
∴CE2=AE·BE；（1分）
又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°，（1分）
∵∠1=∠2，
∴∠P=∠3（1分）
∴△AEP∽△DEB （1分）
∴
PE
BE
=
AE
DE
（1分）
∴PE·DE=AE·BE（1分）
∴CE2=PE·DE．（1分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
首先证Rt△ACE∽Rt△CBE，得出CE2=AE·BE（即射影定理）；再通过证△AEP∽△BED，得出PE·DE=AE·BE，联立上述两式即可得出本题要证的结论．
此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．
证明题．
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