试题

题目：
（2010·塘沽区二模）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，并且存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形，求此时△AQP的面积．
青果学院
答案
解：（1）在Rt△ABC中，AB=
BC2+AC2
=5，
由题意知：AP=5-t，AQ=2t，
若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴
AQ
AC
=
AP
AB
，
∴
2t
4
=
5-t
5
，
∴t=
10
7
．
青果学院
（2）如图①过点P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴
PH
BC
=
AP
AB
，
∴
PH
3
=
5-t
5
，
∴PH=3-
3
5
t，
∴y=
1
2
×AQ×PH=
1
2
×2t×(3-
3
5
t)=-
3
5
t2+3t．

（3）如图②过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，青果学院
由于四边形PQP′C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴
PN
AC
=
BP
AB
，
∴
PN
4
=
t
5
，
∴PN=
4t
5
，
∴QM=CM=
4t
5
，
∴
4
5
t+
4
5
t+2t=4，
解得：t=
10
9
．
∴当t=
10
9
s时，
∴AQ=
20
9
，
易知△APM∽△ABC．
AP
AB
=
PM
BC
，
5-
10
9
5
=
PM
3
，
∴PM=
7
3
，
此时△AQP的面积y=
1
2
×
7
3
×
20
9
=
70
27
．
解：（1）在Rt△ABC中，AB=
BC2+AC2
=5，
由题意知：AP=5-t，AQ=2t，
若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴
AQ
AC
=
AP
AB
，
∴
2t
4
=
5-t
5
，
∴t=
10
7
．
青果学院
（2）如图①过点P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴
PH
BC
=
AP
AB
，
∴
PH
3
=
5-t
5
，
∴PH=3-
3
5
t，
∴y=
1
2
×AQ×PH=
1
2
×2t×(3-
3
5
t)=-
3
5
t2+3t．

（3）如图②过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，青果学院
由于四边形PQP′C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴
PN
AC
=
BP
AB
，
∴
PN
4
=
t
5
，
∴PN=
4t
5
，
∴QM=CM=
4t
5
，
∴
4
5
t+
4
5
t+2t=4，
解得：t=
10
9
．
∴当t=
10
9
s时，
∴AQ=
20
9
，
易知△APM∽△ABC．
AP
AB
=
PM
BC
，
5-
10
9
5
=
PM
3
，
∴PM=
7
3
，
此时△AQP的面积y=
1
2
×
7
3
×
20
9
=
70
27
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
（1）由勾股定理得出AB，因为AP=5-t，AQ=2t，则可证明△APQ∽△ABC，即可求得t；
（2）过点P作PH⊥AC于H．由△APH∽△ABC，得PH=3-
3
5
t，然后根据三角形的面积公式，从而求得y与t的函数关系式；
（3）过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，根据菱形的性质得PQ=PC，易知△PBN∽△ABC．则可得出PN=QM=CM，求得t，即可求得△AQP的面积．
本题是一道几何与代数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识点，是中考压轴题，难度偏大．
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